陶哲轩Analysis I习题的参考解答及思考（第2章）
第2章
版本
Analysis I（第3版）。
章节2.2
练习2.2.1
题目：
Prove Proposition 2.2.5. (Hint: fix two of the variables and induct on the third.)
Proposition 2.2.5的内容：
(Addition is associative). For any natural numbers a, b, c, we have \( (a + b) + c = a + (b + c) \).
证明：
使用数学归纳法，对 \( a \) 进行归纳。
当\( a = 0 \)时，左边 = \( (a + b) + c = (0 + b) + c = b + c \)，右边 = \( a + (b + c) = 0 + (b + c) = b + c \)，左边 = 右边。
归纳假设当\( a = k \)时成立，即\( (k + b) + c = k + (b + c) \)成立。
当\( a = k+\!+ \)时，左边 = \( ((k+\!+) + b) + c = ((k + b)+\!+) + c = ((k + b) + c)+\!+ \)，根据归纳假设 \( ((k + b) + c)+\!+ = (k + (b + c))+\!+ \)，即左边 = \( (k + (b + c))+\!+ \)，右边 = \( (k+\!+) + (b + c) = (k + (b + c))+\!+ \)，左边 = 右边。
证毕。
练习2.2.2
题目：
Prove Lemma 2.2.10. (Hint: use induction.)
Lemma 2.2.10的内容：
Let \( a \) be a positive number. Then there exists exactly one natural number \( b \) such that \( b+\!+ = a \).
注：
该定理说明除0外，所有自然数都有一个唯一的前继。
证明：
题目等价于：给定一个自然数\( a \)，如果\( a \)是正自然数，则存在唯一一个自然数\( b \)，使得\( b+\!+ = a \)。
使用数学归纳法证明：
当\( a = 0 \)时，\( a \)不是正自然数，不符合前提条件，命题直接成立。
归纳假设当\( a = k \)时，命题成立，即如果\( k \)是正自然数，则存在自然数\( b \)，使得\( b+\!+ = k \)。
当\( a = k+\!+ \)时，因为\( k+\!+ \neq 0 \)，因此\( k+\!+ \)是正自然数，令\( b := k \)，则\( b+\!+ = k+\!+ = a \)，这里\( b \)就是我们要找的自然数，故\( a = k+\!+ \)时，命题也成立，归纳完毕。
至此仅证明了前继的存在性，还得证明唯一性： \( \forall \)正自然数\( a \)，如果存在自然数\( b, b' \)满足\( b+\!+ = b'+\!+ = a \)，则根据公理2.4，可得\( b = b' \)，即前继是唯一的。
证毕。
练习2.2.3
题目：
Prove Proposition 2.2.12. (Hint: you will need many of the preceding propositions, corollaries, and lemmas.)
Proposition 2.2.12的内容：
(Basic properties of order for natural numbers).
Let \( a \), \( b \), \( c \) be natural numbers. Then
- (Order is reflexive) \( a \geq a \).
- (Order is transitive) If \( a \geq b \) and \( b \geq c \), then \( a \geq c \).
- (Order is anti-symmetric) If \( a \geq b \) and \( b \geq a \), then \( a = b \).
- (Addition preserves order) \( a \geq b \) if and only if \( a + c \geq b + c \).
- \( a < b \) if and only if \( a+\!+ \leq b \).
- \( a < b \) if and only if \( b = a + d \) for some positive number \( d \).
以下分别是它们的证明。
命题1
证明：
\( a = a + 0 \)，故\( a \geq a \)。
证毕。
命题2
证明：
\( a \geq b \)，即存在一个自然数\( d_1 \)，\( a = b + d_1 \)，同理，存在一个自然数\( d_2 \)，\( b = c + d_2 \)，故\( a = b + d_1 = c + d_2 + d_1 \)，这里\( d_2 + d_1 \)是自然数，因此\( a \geq c \)。
证毕。
命题3
证明：
\( a \geq b \)，即存在一个自然数\( d_1 \)，\( a = b + d_1 \)，同理，存在一个自然数\( d_2 \)，\( b = a + d_2 \)，故 \( a = b + d_1 = a + d_2 + d_1 \)，根据消去律得\( d_2 + d_1 = 0 \)，根据推论2.2.9，得\( d_2 = 0 \)且\( d_1 = 0 \)，回代\( d_1 = 0 \)到\( a = b + d_1 \)得\( a = b \)。
证毕。
命题4
证明：
必要性：
\( a \geq b \)，即存在一个自然数\( d \)，\( a = b + d \)，故\( a + c = b + d + c = b + c + d \)，即\( a + c \geq b + c \)。
充分性：
\( a + c \geq b + c \)，即存在一个自然数\( d \)，\( a + c = b + c + d = b + d + c \)，根据消去律得\( a = b + d \)，即\( a \geq b \)。
证毕。
命题5
证明：
必要性：
要证明\( a+\!+ \leq b \)，我们需要证明存在一个自然数d，使得\( b = (a+\!+) + d \)。
\( a < b \)，即\( a \leq b \)且\( a \neq b \)；由于\( a \leq b \)，即存在一个自然数d，使得\( b = a + d \)，d不可能等于0，因为若d等于0，则\( a = b \)，不满足\( a < b \)的定义，故d是正自然数，进而存在自然数\( d_0 \)，使得\( d_0+\!+ = d \)，故\( b = a + d = a + (d_0+\!+) = (a + d_0)+\!+ = (a+\!+) + d_0 \)，这里\( d_0 \)是自然数，因此\( a+\!+ \leq b \)。
充分性：
\( a+\!+ \leq b \)，即存在一个自然数d，使得\( b = (a+\!+) + d \)，于是\( b = (a+\!+) + d = (a + d)+\!+ = a + (d+\!+) \)，这里\( d+\!+ \)是自然数，因此\( a \leq b \)，还需要证明\( a \neq b \)：若\( a = b \)，则\( b = a + (d+\!+) = b + (d+\!+) \)，根据消去律，得\( d+\!+ = 0 \)，根据公理2.3，0不是任何自然数的后继，得出矛盾，故\( a \neq b \)。
证毕。
命题6
证明：
必要性：
\( a < b \)，即\( a \leq b \)且\( a \neq b \)；由于\( a \leq b \)，因此存在一个自然数d，使得\( b = a + d \)，d不可能等于0，因为若d等于0，则\( a = b \)，不满足\( a < b \)的定义，故d是正自然数。
充分性：
存在一个正自然数\( d \)，使得\( b = a + d \)，因此\( a \leq b \)，还差\( a \neq b \)：若\( a = b \)，则\( b = a + d = b + d \)，根据消去律，得\( d = 0 \)，矛盾，故\( a \neq b \)。
证毕。
练习2.2.4
题目：
Justify the three statements marked (why?) in the proof of Proposition 2.2.13.
第1个why：
When \( a = 0 \) we have \( 0 \leq b \) for all \( b \).
证明：
针对任意的\( b \)，有\( b = 0 + b \)，故\( b \geq 0 \)。
证毕。
第2个why：
If \( a > b \), then \( a+\!+ > b \).
证明：
\( a > b \)，即存在一个自然数d，使得\( a = b + d \)，故\( a+\!+ = (b + d)+\!+ = b + (d+\!+) \)，由于\( d+\!+ \neq 0 \)，即\( d+\!+ \)是正自然数，根据练习2.2.3的命题6，可得\( a+\!+ > b \)。
证毕。
第3个why：
If \( a = b \), then \( a+\!+ > b \).
因为\( a = b \)，故\( a+\!+ = b+\!+ = b + 1 \)，这里\( 1 \)是正自然数，根据练习2.2.3的命题6，可得\( a+\!+ > b \)。
证毕。
练习2.2.5
题目：
Prove Proposition 2.2.14. (Hint: define \( Q(n) \) to be the property that \( P(m) \) is true for all \( m_0 \leq m < n \); note that \( Q(n) \) is vacuously true when \( n < m_0 \).)
Proposition 2.2.14的内容：
(Strong principle of induction). Let \( m_0 \) be a natural number, and let \( P(m) \) be a property pertaining to an arbitrary natural number \( m \). Suppose that for each \( m \geq m_0 \), we have the following implication: if \( P(m') \) is true for all natural numbers \( m_0 \leq m' < m \), then \( P(m) \) is also true. (In particular, this means that \( P(m_0) \) is true, since in this case the hypothesis is vacuous.) Then we can conclude that \( P(m) \) is true for all natural numbers \( m \geq m_0 \).
思路：
公理2.5存在一个局限性，有时候会存在仅靠\( P(m) \)为真不足以证明\( P(m+\!+) \) 为真，还需要\( P(m) \)之前的项为真（不严谨点说，就是\( P(m - 1) \)为真），甚至\( P(m) \)之前所有项为真，才能证明\( P(m+\!+) \)为真的情况，此时仅归纳假设\( P(m) \)为真是无法完成证明的。自然地，我们会想，那加强一下我们归纳假设提供的结论怎么样？原本我们仅仅归纳假设\( P(m) \)为真，这导致在证明\( P(m+\!+) \)时，我们仅能使用\( P(m) \)为真的结论，干脆构造属性\( Q(m) \)为“\( \forall 0 \leq m' < m, P(m') \)为真”，把\( Q(m) \)套到公理2.5，即归纳假设\( Q(m) \)为真，去证明\( Q(m+\!+) \)为真，也就是在归纳假设\( \forall 0 \leq m' < m, P(m') \)为真的情况下，去证明\( \forall 0 \leq m' < m+\!+, P(m') \)为真，由于\( \forall 0 \leq m' < m \) 仅比\( \forall 0 \leq m' < m+\!+ \)多了一个\( m' = m \)而已，故相当于我们在归纳假设\( \forall 0 \leq m' < m, P(m') \)为真的情况下，仅需证明\( P(m) \)为真就行，并且此时我们在证明后者为真时，可以利用\( \forall 0 \leq m' < m, P(m') \)全为真的结论，可用信息增多了。
当然，强归纳法是建立在我们已经定义了序的前提下才能用的，不然根本不能表达\( 0 \leq m' < m \)等概念。
特别注意一点：基础情况\( Q(0) \)为真，即\( \forall 0 \leq m' < 0, P(m') \)为真，由于不存在自然数\( m' \)满足\( 0 \leq m' < 0 \)，故基础情况直接成立，不用证明，也没有提供任何有效信息，因此，完整的强归纳模板“证明\( Q(0) \)为真，归纳假设\( Q(m) \)为真，去证明\( Q(m+\!+) \)为真”可以简化成“归纳假设\( Q(m) \)为真，去证明\( Q(m+\!+) \)为真”。
注意到，定理2.2.14多了\( m_0 \)用于作为基数，而我们上面的\( Q(m) \)仅相当于\( m_0 = 0 \)的情况，这里仅需要改下\( Q(m) \)就行了，改成“\( \forall m_0 \leq m' < m, P(m') \)为真”，相当于多一个下限而已，此时证明\( Q(m+\!+) \)为真，即证明\( \forall m_0 \leq m' < m+\!+, P(m') \)为真，后者还是仅比前者多一个\( m' = m \)，故还是仅需要证明\( P(m) \)为真就行。同理，\( Q(0) \)还是直接成立并且没有提供任何有效信息。
证明：
令\( Q(m) \)为属性：\( \forall m_0 \leq m' < m \)，有\( P(m') \)为真。
将\( Q(m) \)代入数学归纳法公理框架，形式如下：
首先验证/证明\( Q(0) \)为真。接着，归纳假设\( Q(m) \)为真，在此基础上，若能证明\( Q(m+\!+) \)为真，那么\( Q(m) \)对所有\( m \in \mathbf{N} \)都成立。
我们先展开这一段的第一部分，即“首先验证/证明\( Q(0) \)为真”。
\( Q(0) \)为真，即\( \forall m_0 \leq m' < 0 \)，有\( P(m') \)为真，由于不存在自然数\( m' \)符合\( m_0 \leq m' < 0 \)，故我们不用验证\( P(m') \)为真，\( Q(0) \)直接就为真。可以看到，\( Q(0) \)为真并没有给出什么有用的信息。
接着展开后面的部分，即“接着，归纳假设\( Q(m) \)为真，在此基础上，若能证明\( Q(m+\!+) \)为真，那么\( Q(m) \)对所有\( m \in \mathbf{N} \)都成立”。
归纳假设\( Q(m) \)为真，即归纳假设\( \forall m_0 \leq m' < m \)，有\( P(m') \)为真。
在此基础上，证明\( Q(m+\!+) \)为真，即证明\( \forall m_0 \leq m' < m+\!+ \)，有\( P(m') \)为真，根据归纳假设，\( \forall m_0 \leq m' < m \)，有\( P(m') \)为真，而\( m_0 \leq m' < m+\!+ \)只比\( m_0 \leq m' < m \)至多多出一个元素\( m' = m \) 故我们仅需要证明\( P(m) \)为真即可。当然，\( m_0 \leq m' < m+\!+ \)也可能没有比\( m_0 \leq m' < m \)多出一个元素，比如没有\( m' \)符合\( m_0 \leq m' < m+\!+ \)，此时两个区间都是空区间，不用验证\( P(m') \)为真。
综上，你会发现，展开\( Q(m) \)代入到数学归纳法公理框架的结果，即展开“首先验证/证明\( Q(0) \)为真。接着，归纳假设\( Q(m) \)为真，在此基础上，若能证明\( Q(m+\!+) \)为真，那么\( Q(m) \)对所有\( m \in \mathbf{N} \)都成立”这段话的结果就是强归纳法（无视\( Q(0) \)为真，因为没有给出什么有用的信息），即：\( \forall m \in \mathbf{N} \)，在假设“\( \forall m_0 \leq m' < m \)，有\( P(m') \)为真”的基础上，如果能证明\( P(m) \)为真，则\( P(m) \)对\( \forall m \geq m_0 \)都成立，不过还是和题目有点不同，因为题目要求\( m \geq m_0 \)，即可以少验证\( \forall 0 \leq m < m_0 \)的情况，考虑到\( \forall 0 \leq m < m_0 \)，区间\( \forall m_0 \leq m' < m \)和 \( \forall m_0 \leq m' < m+\!+ \)均为空，即\( Q(m) \Rightarrow Q(m+\!+) \)直接成立，因此不用验证\( \forall 0 \leq m < m_0 \)的情况也行，最终，我们得到： \( \forall m \geq m_0 \)，在假设“\( \forall m_0 \leq m' < m \)，有\( P(m') \)为真”的基础上，如果能证明\( P(m) \)为真，则\( P(m) \)对\( \forall m \geq m_0 \)都成立。
证毕。
练习2.2.6
题目：
Let n be a natural number, and let \( P(m) \) be a property pertaining to the natural numbers such that whenever \( P(m+\!+) \) is true, then \( P(m) \) is true. Suppose that \( P(n) \) is also true. Prove that \( P(m) \) is true for all natural numbers \( m \leq n \); this is known as the principle of backwards induction. (Hint: apply induction to the variable n.)
证明：
用数学归纳法证明。
令\( Q(n) \)为属性：首先验证/证明\( P(n) \)为真，接着，归纳假设\( P(m+\!+) \)为真，在此基础上，如果能证明\( P(m) \)为真，那么\( P(m) \)对\( \forall \)自然数\( m \leq n \)都成立。
将\( Q(n) \)代入到数学归纳法公理框架，即：首先验证/证明\( Q(0) \)为真，接着，归纳假设\( Q(k) \)为真，在此基础上，如果能证明\( Q(k+\!+) \)为真，那么\( Q(n) \)对\( \forall \)自然数\( n \in \mathbf{N} \)都成立。
\( Q(0) \)即：首先验证/证明\( P(0) \)为真，接着，归纳假设\( P(m+\!+) \)为真，在此基础上，如果能证明\( P(m) \)为真，那么\( P(m) \)对\( \forall \)自然数\( m \leq 0 \)都成立。实际上，我们只要验证/证明\( P(0) \)为真，\( P(m) \)就对\( \forall \)自然数\( m \leq 0 \)都成立了，能不能在归纳假设\( P(m+\!+) \)为真的基础上证明\( P(m) \)为真已经不重要了，如果能，则我们已经有结论“\( P(m) \)对\( \forall \)自然数\( m \leq n \)都成立”为真，此时\( Q(0) \)为真，如果不能，则前提条件不成立，直接有\( Q(0) \)为真。
\( Q(k) \)即：首先验证/证明\( P(k) \)为真，接着，归纳假设\( P(m+\!+) \)为真，在此基础上，如果能证明\( P(m) \)为真，那么\( P(m) \)对\( \forall \)自然数\( m \leq k \)都成立。
\( Q(k+\!+) \)即：首先验证/证明\( P(k+\!+) \)为真，接着，归纳假设\( P(m+\!+) \)为真，在此基础上，如果能证明\( P(m) \)为真，那么\( P(m) \)对\( \forall \)自然数\( m \leq k+\!+ \)都成立。
\( Q(k+\!+) \)中，首先验证/证明了\( P(k+\!+) \)为真，接着考虑”归纳假设\( P(m+\!+) \)为真，在此基础上，如果能证明\( P(m) \)为真“能不能做到，如果不能做到，即在归纳假设\( P(m+\!+) \)为真的基础上，不能证明\( P(m) \)为真，则前提条件不成立，直接有\( Q(k+\!+) \)为真，如果能做到，则特别的，令\( m := k \)，可得在归纳假设\( P(m+\!+) = P(k+\!+) \)为真的基础上，可以证明\( P(m) = P(k) \)为真， \( P(k) \)为真，满足了\( Q(k) \)要求的“首先验证/证明\( P(k) \)为真”，加上我们已经有的“在归纳假设\( P(m+\!+) = P(k+\!+) \)为真的基础上，可以证明\( P(m) = P(k) \)为真”，就可以使用\( Q(k) \)的结论“\( P(m) \)对\( \forall \)自然数\( m \leq k \)都成立”了，加上我们一开始验证/证明的\( P(k+\!+) \)为真，便得到了\( P(m) \)对\( \forall \)自然数\( m \leq k+\!+ \)都成立的结论，综上，在归纳假设\( Q(k) \)为真的基础上，我们能推出\( Q(k+\!+) \)为真，归纳完毕。
至此，我们得到了\( \forall n \in \mathbf{N}, Q(n) \)成立的结论，即：给定自然数\( n \in \mathbf{N} \)，首先验证/证明\( P(n) \)为真，接着，归纳假设\( P(m+\!+) \)为真，在此基础上，如果能证明\( P(m) \)为真，那么\( P(m) \)对\( \forall \)自然数\( m \leq n \)都成立。
证毕。
练习2.2.7
题目：
Let \( n \) be a natural number, and let \( P(m) \) be a property pertaining to the natural numbers such that whenever \( P(m) \) is true, \( P(m+\!+) \) is true. Show that if \( P(n) \) is true, then \( P(m) \) is true for all \( m \geq n \). (This principle is sometimes referred to as the principle of induction starting from the base case \( n \).)
附注：
这是作者在博客中新增的习题。
证明：
令属性\( Q(m) \)为\( P(m + n) \)。
将\( Q(m) \)代入数学归纳法公理框架，形式如下：
首先验证/证明\( Q(0) \)为真。接着，归纳假设\( Q(m) \)为真，在此基础上，若能证明\( Q(m+\!+) \)为真，那么\( Q(m) \)对所有\( m \in \mathbf{N} \)都成立。
首先验证/证明基础情况\( Q(0) \)为真，即验证/证明\( P(0 + n) = P(n) \)为真。接着，归纳假设\( Q(m) \)为真，这里\( Q(m) \)为真即\( P(m + n) \)为真。在此基础上，若能证明\( Q(m+\!+) = P((m+\!+) + n) = P((m + n)+\!+) \)为真，则\( Q(m) = P(m + n) \)对所有\( m \in \mathbf{N} \)都成立，换句话来说就是\( \forall \)自然数\( n' \geq m \)，均有\( P(n') \)为真。从上面的描述看来，似乎和题目很接近了，但是还差一点，我们上面仅仅是保证了在假设\( P(m + n) \)为真的基础上能推出\( P((m + n)+\!+) \)为真，缺少了\( \forall 0 \leq m' < n \)时，\( P(m') \)的情况，也就是\( \forall 0 \leq m' < n \)时，我们并不知道在假设\( P(m') \)为真的基础上是否能推出\( P(m'+\!+) \)为真，实际上也并不需要考虑\( \forall 0 \leq m' < n \)时，\( P(m') \)的情况，因为仅仅保证在假设\( P(m + n) \)为真的基础上能推出\( P((m + n)+\!+) \)为真，就能保证我们想要的结论了，即“\( \forall \)自然数\( n' \geq m \)，均有\( P(n') \)为真”，题目额外要求验证的\( \forall 0 \leq m' < n \)时，\( P(m') \)的情况反而是多此一举。
综上，如果能首先验证/证明\( P(n) \)为真，且在假设给定任意自然数\( m \geq n \)，\( P(m) \)为真的基础上，能推出\( P(m+\!+) \)为真，则\( P(m) \)对所有自然数\( m \geq n \)都成立。特别的、更费力不讨好点的，有：如果能首先验证/证明\( P(0 + n) = P(n) \)为真，且在假设给定任意自然数\( m \)，\( P(m) \)为真的基础上，能推出\( P(m+\!+) \)为真，则当然在假设给定任意自然数\( m \geq n \)，\( P(m) \)为真的基础上，也能推出\( P(m+\!+) \)为真，进而也可得\( P(m) \)对所有自然数\( m \geq n \)都成立。
证毕。
练习2.2.7的推论
根据我们上面在练习2.2.7的证明中的讨论，实际上只需要在在假设给定任意自然数\( m \geq n \)，\( P(m) \)为真的基础上，能推出\( P(m+\!+) \)为真，则\( P(m) \)对所有自然数\( m \geq n \)都成立，不需要考虑\( 0 \leq m < n \)的情况，故有如下推论：
Let \( n \) be a natural number, and let \( P(m) \) be a property pertaining to the natural numbers such that: \( \forall m \geq n \), whenever \( P(m) \) is true, \( P(m+\!+) \) is true. Show that if \( P(n) \) is true, then \( P(m) \) is true for all \( m \geq n \).
章节2.3
练习2.3.1
题目：
Prove Lemma 2.3.2. (Hint: modify the proofs of Lemmas 2.2.2, 2.2.3 and Proposition 2.2.4.)
Lemma 2.3.2的内容：
(Multiplication is commutative). Let \( n, m \) be natural numbers. Then \( n \times m \) = \( m \times n \).
我们先证明两个引理，然后再证明引理2.3.2。
引理1：
\( \forall n \in \mathbf{N} \)，有\( n \times 0 = 0 \)。
证明：
用数学归纳法证明：
当\( n = 0 \)时，根据定义\( 0 \times 0 = 0 \)，成立。
归纳假设当\( n = k \)时成立，即\( k \times 0 = 0 \)。
当\( n = k+\!+ \)时，\( (k+\!+) \times 0 = (k \times 0) + 0 = 0 + 0 = 0 \)。
证毕。
引理2：
\( \forall n, m \in \mathbf{N} \)，有\( n \times (m+\!+) = (n \times m) + n \)。
证明：
用数学归纳法证明：
当\( n = 0 \)时，左边 = \( 0 \times (m+\!+) = 0 \)，右边 = \( (0 \times m) + 0 = 0 + 0 = 0 \)，左边 = 右边，成立。
归纳假设当\( n = k \)时成立，即\( k \times (m+\!+) = (k \times m) + k \)。
当\( n = k+\!+ \)时，左边 = \( (k+\!+) \times (m+\!+) = (k \times (m+\!+)) + (m+\!+) = (k \times m) + k + (m+\!+) = (k \times m) + k + m + 1 \)，右边 = \( ((k+\!+) \times m) + (k+\!+) = (k \times m) + m + (k+\!+) = (k \times m) + m + k + 1 \)，左边 = 右边。
证毕。
现在，证明引理2.3.2。
证明：
用数学归纳法证明：
当\( n = 0 \)时，根据引理1，\( 0 \times m = m \times 0 = 0 \)。
归纳假设当\( n = k \)时成立，即\( k \times m = m \times k \)。
当\( n = k+\!+ \)时，左边 = \( (k+\!+) \times m = (k \times m) + m \)，右边 = \( m \times (k+\!+) = (m \times k) + m = (k \times m) + m \)，左边 = 右边。
证毕。
练习2.3.2
题目：
Prove Lemma 2.3.3. (Hint: prove the second statement first.)
Lemma 2.3.3的内容：
(Positive natural numbers have no zero divisors). Let \( n, m \) be natural numbers. Then \( n \times m = 0 \) if and only if at least one of \( n, m \) is equal to zero. In particular, if \( n \) and \( m \) are both positive, then \( nm \) is also positive.
首先讨论下， 为什么这个定理叫正自然数不能除0（实际上所有数都规定不能除0）？我们知道一个数和它的倒数相乘为1，即\( n \times n^{-1} = 1 \)，而除法正是通过倒数定义的： \( a \div b = a \times b^{-1} \)，如果0能作为除数，那么\( a \div 0 = a \times 0^{-1} \)，两边同乘0，左边 = \( (a \div 0) \times 0 = 0 \)，右边 = \( (a \times 0^{-1}) \times 0 = a \times (0^{-1} \times 0) = a \times 1 = a \)（这里用到了乘法的结合律，是目前还没有证明的），左边 \( \neq \) 右边，实际上不存在一个数\( k \)，使得\( 0 \times k = 1 \)，即0是没有倒数的。综上，0不适合作为除数，我们可以强行定义一个0的倒数，但这时候很多定理都得考虑特殊情况，会变得很不优雅，也难用。回到该定理，如果\( n \times m = 0 \)的情况下，假设有\( n \neq 0 \)且\( m \neq 0 \)，则\( n \)和\( m \) 均有倒数，此时\( n \times m \times (n^{-1} \times m^{-1}) = 0 \times (n^{-1} \times m^{-1}) \)，左边\( = (n \times n^{-1}) \times (m \times m^{-1}) = 1 \times 1 = 1 \)，从而有\( 1 = 0 \times (n^{-1} \times m^{-1}) \)，即\( n^{-1} \times m^{-1} \)是\( 0 \)的倒数，而前面说了\( 0 \)不适合有倒数。
下面，来证明引理2.3.3。
证明：
先证明如果\( n, m \)都是正自然数，那么\( nm \)也是正自然数，用数学归纳法证明：
当\( n = 0 \)时，\( n \)不是正自然数，命题成立。
归纳假设当\( n = k \)时成立，即如果\( k, m \)都是正自然数，那么\( km \)也是正自然数。
当\( n = k+\!+ \)时，如果\( k+\!+, m \)都是正自然数，那么\( (k+\!+) \times m = (k \times m) + m \neq 0 \)也是正自然数（注：这里不用考虑\( k \)是否为正自然数的情况，实际上，我们并没有用到归纳假设，\( k \times m \)是否为正自然数不重要）。
接着，证明（\( n \times m = 0 \)）当且仅当（\( n = 0 \)或\( m = 0 \)）：
必要性：
用反证法，假设\( n \neq 0 \)且\( m \neq 0 \)，根据前面证明的定理，得\( n \times m \neq 0 \)，矛盾，故假设不成立，有\( n = 0 \)或\( m = 0 \)。
充分性：
如果\( n = 0 \)或\( m = 0 \)，不妨设\( n = 0 \) （如果\( m = 0 \)且\( n \neq 0 \)的话，则交换下\( n, m \)两个变量，重复一遍证明即可），则\( n \times m = 0 \times m = 0 \)。
证毕。
练习2.3.3
题目：
Prove Proposition 2.3.5. (Hint: modify the proof of Proposition 2.2.5 and use the distributive law.)
Proposition 2.3.5的内容：
(Multiplication is associative). For any natural numbers \( a, b, c\), we have \( (a \times b) \times c = a \times (b \times c) \).
证明：
用数学归纳法证明：
当\( c = 0 \)时，左边 = \( ( a \times b ) \times 0 = 0 \)，右边 = \( a \times ( b \times 0) = a \times 0 = 0 \)，左边 = 右边。
假设当\( c = k \)时成立，即\( (a \times b) \times k = a \times (b \times k) \)。
当\( c = k+\!+ \)时，左边 = \( (a \times b) \times (k+\!+) = (a \times b) \times k + a \times b \)，右边 = \( a \times (b \times (k+\!+)) = a \times ((b \times k) + b) = a \times (b \times k) + a \times b = (a \times b) \times k + a \times b \)，左边 = 右边。
证毕。
练习2.3.4
题目：
Prove the identity \( (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \) for all natural numbers \( a, b \).
证明：
\( (a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a(a + b) + b(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = a^2 + 2ab + b^2 \)
证毕。
练习2.3.5
题目：
Prove Proposition 2.3.9. (Hint: fix \( q \) and induct on \( n \).)
Proposition 2.3.9的内容：
(Euclidean algorithm). Let \( n \) be a natural number, and let \( q \) be a positive number. Then there exist natural numbers \( m, r \) such that \( 0 \leq r < q \) and \( n = mq + r \).
证明：
用数学归纳法证明：
当\( n = 0 \)时，\( 0 = 0q + 0 \)。
假设当\( n = k \)时成立，即存在自然数\( m, r \)，\( 0 \leq r < q \)，使得\( k = mq + r \)。
当\( n = k+\!+ \)时，\( k+\!+ = k + 1 = mq + r + 1 \)，若\( 0 \leq r + 1 < q \)，则\( m \)和\( r + 1 \)就是满足条件的自然数。若\( r + 1 \geq q \)，则令\( r_1 := (r + 1) - q \)，此时\( 0 \leq r_1 < q \)，\( k+\!+ = mq + r + 1 = (m + 1)q + r_1 \)，这里\( m + 1 \)和\( r_1 \)就是满足条件的自然数。
证毕。