陶哲轩Analysis I习题的参考解答及思考（第5章）

2021-09-28 约 17348 字预计阅读 35 分钟

第5章

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Analysis I（第3版）。

章节5.1

练习5.1.1

题目：

Prove Lemma 5.1.15. (Hint: use the fact that a n is eventually 1-steady, and thus can be split into a finite sequence and a 1-steady sequence. Then use Lemma 5.1.14 for the finite part. Note there is nothing special about the number 1 used here; any other positive number would have sufficed.)

Lemma 5.1.15的内容：

(Cauchy sequences are bounded). Every Cauchy sequence \( (a_n)_{n = 1}^{\infty} \) is bounded.

证明：

根据柯西序列的定义，有\( (a_n)_{n = 1}^{\infty} \)最终\( 1 \)-稳定，即\( \exists N \geq 1, \forall j, k \geq N, |a_j - a_k| \leq 1 \)，故有\( \forall n \geq N, |a_n - a_N| \leq 1 \)，进而有 \( \forall n \geq N, |an| \leq |a_N| + 1 \) （注：两边同加\( |a_N| \)，然后用绝对值不等式，代入\( |a_n - a_N| \)以及\( |a_N| \)）。根据引理5.1.14，有：有限序列\( a_1, a_2, \dots a_{N - 1} \)有界，故\( \exists M \geq 0 \in \mathbf{Q} \)，使得\( \forall 1 \leq i \leq N - 1, |a_i| \leq M \)。综上，有：\( \forall n \geq 1, a_n \leq M + |a_N| + 1 \)，即柯西序列有界。

证毕。

章节5.2

练习5.2.1

题目：

Show that if \( (a_n)_{n = 1}^{\infty} \) and \( (b_n)_{n = 1}^{\infty} \) are equivalent sequences of rationals, then \( (a_n)_{n = 1}^{\infty} \) is a Cauchy sequence if and only if \( (b_n)_{n = 1}^{\infty} \) is a Cauchy sequence.

证明：

必要性：

\( \forall (\epsilon / 3) > 0 \)，因为\( (a_n)_{n = 1}^{\infty} \)和\( (b_n)_{n = 1}^{\infty} \) 是等价序列，故\( \exists N_0 \geq 1, \forall n \geq N_0, |a_n - b_n| \leq (\epsilon / 3) \)。

如果\( (a_n)_{n = 1}^{\infty} \)是柯西序列，则\( \exists N_1 \geq 1, \forall j, k \geq N_1, |a_j - a_k| \leq (\epsilon / 3) \)，取\( N = \max(N_0, N_1) \)，则\( \forall j, k \geq N \)，有\( b_j \)和\( a_j \) \( \epsilon / 3 \)-接近，又\( a_j \)和\( a_k \) \( \epsilon / 3 \)-接近，可得\( b_j \)和\( a_k \) \( (2\epsilon) / 3 \)-接近，又\( a_k \)和\( b_k \) \( \epsilon / 3 \)-接近，可得\( b_j \)和\( b_k \) \( \epsilon \)-接近。

综上，有\( \forall \epsilon > 0, \exists N \geq 1, \forall j, k \geq N, |b_j - b_k| \leq \epsilon \)，即\( (b_n)_{n = 1}^{\infty} \)是柯西序列。

充分性：

充分性的证明和必要性的证明一样，交换下\( (a_n)_{n = 1}^{\infty} \)和\( (b_n)_{n = 1}^{\infty} \)就行，这里不再重新写一遍。

证毕。

练习5.2.2

题目：

Let \( \epsilon > 0 \). Show that if \( (a_n)_{n = 1}^{\infty} \) and \( (b_n )_{n = 1}^{\infty} \) are eventually \( \epsilon \)-close, then \( (a_n)_{n = 1}^{\infty} \) is bounded if and only if \( (b_n)_{n = 1}^{\infty} \) is bounded.

证明：

同练习5.2.1一样，该连续只要证明一个方向即可，另外一个方向交换下\( (a_n)_{n = 1}^{\infty} \) 和\( (b_n)_{n = 1}^{\infty} \)就行，这里就不写两遍了。

如果\( (a_n)_{n = 1}^{\infty} \)有界，则\( \exists M_0 \geq 0, \forall n \geq 1, |a_n| \leq M_0 \) ，又\( (a_n)_{n = 1}^{\infty} \)和\( (b_n)_{n = 1}^{\infty} \)最终\( \epsilon \)-靠近，故\( \exists N \geq 1, \forall n \geq N, |b_n - a_n| \leq \epsilon \)，此时根据绝对值不等式，有\( |b_n| \leq |b_n - a_n| + |a_n| \leq \epsilon + M_0 \)。又有限序列\( b_1, b_2, \dots, b_{N - 1} \)有界，可得\( \exists M_1 \geq 0, \forall 1 \leq i \leq N - 1, |b_i| \leq M_1 \)。综上，可得\( \forall n \geq 1, |b_n| \leq M_0 + M_1 + \epsilon \)，即\( (b_n)_{n = 1}^{\infty} \)有界。

证毕。

章节5.3

练习5.3.1

题目：

Prove Proposition 5.3.3. (Hint: you may find Proposition 4.3.7 to be useful.)

Proposition 5.3.3的内容：

(Formal limits are well-deﬁned). Let \( x = \text{LIM}_{n \to \infty} a_n \), \( y = \text{LIM}_{n \to \infty} b_n \), and \( z = \text{LIM}_{n \to \infty } c_n \) be real numbers. Then, with the above definition of equality for real numbers, we have \( x = x \). Also, if \( x = y \), then \( y = x \). Finally, if \( x = y \) and \( y = z \), then \( x = z \).

证明自反性：

\( \forall \epsilon > 0 \)，令\( N = 1 \)，有\( \forall n \geq N, |a_n - a_n| = 0 \leq \epsilon \)，即\( (a_n)_{n = 1}^{\infty} \)和\( (a_n)_{n = 1}^{\infty} \)等价，故\( x = x \)。

证毕。

证明对称性：

\( \forall \epsilon > 0 \)，因为\( x = y \)，故\( (a_n)_{n = 1}^{\infty} \)和\( (b_n)_{n = 1}^{\infty} \)等价， \( \exists N \geq 1, \forall n \geq N, |a_n - b_n| \leq \epsilon \)，进而有\( |b_n - a_n| \leq \epsilon \)。综上，有\( (b_n)_{n = 1}^{\infty} \)和\( (a_n)_{n = 1}^{\infty} \)等价，即\( y = x \)。

证毕。

证明传递性：

\( \forall (\epsilon / 2) > 0 \)，因为\( x = y \)，故\( (a_n)_{n = 1}^{\infty} \)和\( (b_n)_{n = 1}^{\infty} \)等价， \( \exists N_0 \geq 1, \forall n \geq N_0, |a_n - b_n| \leq (\epsilon / 2) \)。因为\( y = z \)，故\( (b_n)_{n = 1}^{\infty} \)和\( (c_n)_{n = 1}^{\infty} \)等价， \( \exists N_1 \geq 1, \forall n \geq N_1, |b_n - c_n| \leq (\epsilon / 2) \)。取\( N = \max(N_0, N_1) \)，\( \forall n \geq N \)，因为\( a_n \)和\( b_n \)\( (\epsilon / 2) \)-接近，且\( b_n \)和\( c_n \)\( (\epsilon / 2) \)-接近，故\( a_n \)和\( c_n \) \( \epsilon \)-接近。综上，有\( (a_n)_{n = 1}^{\infty} \)和\( (c_n)_{n = 1}^{\infty} \)等价，故\( x = z \)。

证毕。

练习5.3.2

题目：

Prove Proposition 5.3.10. (Hint: again, Proposition 4.3.7 may be useful.)

Proposition 5.3.10的内容：

(Multiplication is well defined). Let \( x = \text{LIM}_{n \to \infty} a_n \), \( y = \text{LIM}_{n \to \infty} b_n \), and \( x' = \text{LIM}_{n \to \infty} a'_n \) be real numbers. Then \( xy \) is also a real number. Furthermore, if \( x = x' \), then \( xy = x’y \).

证明\( xy \)是实数：

因为\( x, y \)是实数，故\( (a_n)_{n = 1}^{\infty}, (b_n)_{n = 1}^{\infty} \)均是柯西序列。

因为\( (a_n)_{n = 1}^{\infty} \)为柯西序列，故\( (a_n)_{n = 1}^{\infty} \)有界，即\( \exists M_0 \geq 0, \forall n \geq 1, |a_n| \leq M_0 \)。同理，因为\( (b_n)_{n = 1}^{\infty} \)为柯西序列，故\( (b_n)_{n = 1}^{\infty} \)有界，即\( \exists M_1 \geq 0, \forall n \geq 1, |b_n| \leq M_1 \)。取\( M = \max(M_0, M_1, 1) \)，有\( M \geq 1 \)，且\( \forall n \geq 1, |a_n| \leq M, |b_n| \leq M \)。

\( \forall 0 < \epsilon \leq 1 \)，有\( \epsilon \geq \epsilon^2 \)且\( \epsilon / (3M) > 0 \)，因为\( (a_n)_{n = 1}^{\infty} \)为柯西序列，故\( \exists N_0 \geq 1, \forall j, k \geq N_0, |a_j - a_k| \leq \epsilon / (3M) \)。同理，因为\( (b_n)_{n = 1}^{\infty} \)为柯西序列，故\( \exists N_1 \geq 1, \forall j, k \geq N_1, |b_j - b_k| \leq \epsilon / (3M) \)。

上面证明了\( \forall 0 < \epsilon \leq 1 \)下，\( (a_nb_n)_{n = 1}^{\infty} \) \( \epsilon \)-稳定，针对\( \epsilon > 1 \)，随便取个\( 0 < \epsilon_0 \leq 1 \)，可得 \( (a_nb_n)_{n = 1}^{\infty} \) \( \epsilon_0 \)-稳定，因为\( \epsilon > \epsilon_0 \)，故根据定理4.3.7的命题5，有\( (a_nb_n)_{n = 1}^{\infty} \)也\( \epsilon \)-稳定。

综上，\( \forall \epsilon > 0 \)，有\( (a_nb_n)_{n = 1}^{\infty} \) \( \epsilon \)-稳定，即\( (a_nb_n)_{n = 1}^{\infty} \)是柯西序列，也就是说\( xy \)也是实数。

证毕。

证明\( xy = x’y \)：

\( xy = \text{LIM}_{n \to \infty} a_nb_n \)， \( x’y = \text{LIM}_{n \to \infty} a'_nb_n \)。

因为\( (b_n)_{n = 1}^{\infty} \)为柯西序列，故\( (b_n)_{n = 1}^{\infty} \)有界，即\( \exists M \geq 0, \forall n \geq 1, |b_n| \leq M \)。

因为\( x = x' \)，故\( \forall (\epsilon / M) > 0, \exists N \geq 1, \forall n \geq N, a_n \)和\( a'_n \)\( (\epsilon / M) \)-接近，根据定理4.3.7的命题7，有\( a_nb_n \)和\( a'_nb_n \)\( ((\epsilon / M)|b_n|) \)-接近，而\( ((\epsilon / M)M = \epsilon) \geq (\epsilon / M)|b_n| \)，根据定理4.3.7的命题5，有\( a_nb_n \)和\( a'_nb_n \)也\( \epsilon \)-接近。

综上，有\( (a_nb_n)_{n = 1}^{\infty} \)和\( (a'_nb_n)_{n = 1}^{\infty} \)等价，可得\( xy = x’y \)。

证毕。

同理，易证明：如果\( y = y' \)，则\( xy = xy' \)。

练习5.3.3

题目：

Let \( a, b \) be rational numbers. Show that \( a = b \) if and only if \( \text{LIM}_{n \to \infty} a = \text{LIM}_{n \to \infty} b \) (i.e., the Cauchy sequences \( a, a, a, a, \dots \) and \( b, b, b, b \dots \) equivalent if and only if \( a = b \)). This allows us to embed the rational numbers inside the real numbers in a well-defined manner.

证明：

必要性：

如果\( a = b \)，则\( \forall \epsilon > 0 \)，取\( N = 1 \)， \( \forall n \geq N, |a - b| = 0 \leq \epsilon \)，即\( \text{LIM}_{n \to \infty} a = \text{LIM}_{n \to \infty} b \)。

充分性：

如果\( \text{LIM}_{n \to \infty} a = \text{LIM}_{n \to \infty} b \)，则\( \forall \epsilon > 0, \exists N \geq 1, \forall n \geq N, |a - b| \leq \epsilon \)，简而言之，\( \forall \epsilon > 0, |a - b| \leq \epsilon \)，根据4.3.7的命题1，有\( a = b \)。

证毕。

练习5.3.4

题目：

Let \( (a_n)_{n = 1}^{\infty} \) be a sequence of rational numbers which is bounded. Let \( (b_n)_{n = 1}^{\infty} \) be another sequence of rational numbers which is equivalent to \( (a_n)_{n = 1}^{\infty} \). Show that \( (b_n)_{n = 1}^{\infty} \) is also bounded. (Hint: use Exercise 5.2.2.)

注：这里原题目下标是从\( 0 \)开始，这里为了一致性，改成从\( 1 \)开始。

证明：

因为\( (a_n)_{n = 1}^{\infty} \)和\( (b_n)_{n = 1}^{\infty} \)等价，故取\( \epsilon = 1 \)时，有\( (a_n)_{n = 1}^{\infty} \)和\( (b_n)_{n = 1}^{\infty} \)最终\( 1 \)-接近。又因\( (a_n)_{n = 1}^{\infty} \)有界，根据练习5.2.2，有\( (b_n)_{n = 1}^{\infty} \)也有界。

证毕。

练习5.3.5

题目：

Exercise 5.3.5. Show that \( \text{LIM}_{n \to \infty} 1 / n = 0 \).

证明：

\( 0 = \text{LIM}_{n \to \infty} 0 \)。

\( \forall \epsilon > 0 \)，取\( N \geq 1 / \epsilon \)，有\( 1 / N \leq \epsilon \)，进而有\( \forall n \geq N, |1 / n - 0| = 1 / n \leq 1 / N \leq \epsilon \)，即\( \text{LIM}_{n \to \infty} 1 / n = \text{LIM}_{n \to \infty} 0 = 0 \)。

证毕。

章节5.4

练习5.4.1

题目：

Prove Proposition 5.4.4. (Hint: if \( x \) is not zero, and \( x \) is the formal limit of some sequence \( (a_n)_{n = 1}^{\infty} \), then this sequence cannot be eventually \( \epsilon \)-close to the zero sequence \( (0)_{n = 1}^{\infty} \) for every single \( \epsilon > 0 \). Use this to show that the sequence \( (a_n)_{n = 1}^{\infty} \) is eventually either positively bounded away from zero or negatively bounded away from zero.)

Proposition 5.4.4的内容：

(Basic properties of positive reals). For every real number \( x \), exactly one of the following three statements is true: (a) \( x \) is zero; (b) \( x \) is positive; (c) \( x \) is negative. A real number \( x \) is negative if and only if \( −x \) is positive. If \( x \) and \( y \) are positive, then so are \( x + y \) and \( xy \).

证明三元论（Trichotomy）：

首先先证明三者中至少有一个成立：

如果\( x = 0 \)，则此时\( x = 0 \)成立。

如果\( x \neq 0 \)，则\( \exists (a_n)_{n = 1}^{\infty} \)远离0，使得\( x = \text{LIM}_{n \to \infty} a_n \)。

因为\( (a_n)_{n = 1}^{\infty} \)远离0，故\( \exists c > 0 \)，使得\( \forall n \geq 1, |a_n| \geq c \)。

因为\( (a_n)_{n = 1}^{\infty} \)为柯西序列，取\( \epsilon = c / 2 \)，则\( \exists N \geq 1, \forall j, k \geq N, |a_j - a_k| \leq c / 2 \) ，更具体的，有\( \forall n \geq N, |a_n - a_N| \leq c / 2 \)。针对\( a_N \)，因为\( |a_N| \geq c \)，故有\( a_N \geq c \)或\( a_N \leq -c \)：

如果\( a_N \geq c \)，则因为\( \forall n \geq N, |a_n - a_N| \leq c / 2 \)，有\( a_n > c / 2 \)，即：\( \forall n \geq N, a_n > c / 2 \)，此时构造新序列\( b_{n = 1}^{\infty} \)，如果\( n < N \)，则\( b_n = c \)，如果\( n \geq N \)，则\( b_n = a_n \)，可得\( \forall n \geq 1 \)，有\( b_n > c / 2 \)，也就说\( b_{n = 1}^{\infty} \)正远离\( 0 \)，易证\( b_{n = 1}^{\infty} \)和\( a_{n = 1}^{\infty} \)等价，理由是这两个序列只有有限的\( 1 \leq n < N \)项可能不同，后面都是一样的。综上，有\( x \)为正实数。
如果\( a_N \leq -c \)，则因为\( \forall n \geq N, |a_n - a_N| \leq c / 2 \)，有\( a_n < (-c) / 2 \)，即：\( \forall n \geq N, a_n < (-c) / 2 \)，此时构造新序列\( c_{n = 1}^{\infty} \)，如果\( n < N \)，则\( c_n = -c \)，如果\( n \geq N \)，则\( c_n = a_n \)，可得\( \forall n \geq 1 \)，有\( c_n < (-c) / 2 \)，也就说\( c_{n = 1}^{\infty} \)负远离\( 0 \)，易证\( c_{n = 1}^{\infty} \)和\( a_{n = 1}^{\infty} \)等价，理由是这两个序列只有有限的\( 1 \leq n < N \)项可能不同，后面都是一样的。综上，有\( x \)为负实数。

现在证明三者中至多有一个成立：

如果\( x = 0 \)，假设\( x \)为正实数，则\( \exists (a_n)_{n = 1}^{\infty} \)正远离\( 0 \) 使得\( x = \text{LIM}_{n \to \infty} a_n \)，即\( \exists c > 0, \forall n \geq 1, a_n \geq c \)，则此时取\( \epsilon = c / 2 \)，易证\( (a_n)_{n = 1}^{\infty} \)和\( (0)_{n = 1}^{\infty} \)不最终\( \epsilon \)-靠近，即\( (a_n)_{n = 1}^{\infty} \)和\( (0)_{n = 1}^{\infty} \)不等价，这和\( x = 0 \)矛盾，故假设不成立，有\( x \)不为正实数。

如果\( x = 0 \)，假设\( x \)为负实数，则\( \exists (b_n)_{n = 1}^{\infty} \)负远离\( 0 \) 使得\( x = \text{LIM}_{n \to \infty} b_n \)，即\( \exists c > 0, \forall n \geq 1, b_n \leq -c \)，则此时取\( \epsilon = c / 2 \)，易证\( (b_n)_{n = 1}^{\infty} \)和\( (0)_{n = 1}^{\infty} \)不最终\( \epsilon \)-靠近，即\( (b_n)_{n = 1}^{\infty} \)和\( (0)_{n = 1}^{\infty} \)不等价，这和\( x = 0 \)矛盾，故假设不成立，有\( x \)不为负实数。

如果\( x \)同时为正实数和负实数，则\( \exists (a_n)_{n = 1}^{\infty} \)正远离\( 0 \) 使得\( x = \text{LIM}_{n \to \infty} a_n \)，且\( \exists (b_n)_{n = 1}^{\infty} \)负远离\( 0 \) 使得\( x = \text{LIM}_{n \to \infty} b_n \)。因为\( (a_n)_{n = 1}^{\infty} \)正远离\( 0 \)，故\( \exists c_0 > 0, \forall n \geq 1, a_n \geq c_0 \)。因为\( (b_n)_{n = 1}^{\infty} \)负远离\( 0 \)，故\( \exists c_1 > 0, \forall n \geq 1, b_n \leq -c_1 \)。易证两个序列不最终\( c_0 \)-靠近，因为两序列对应元素的距离至少隔了\( c_0 + c_1 \)那么远。

至此，我们证明了：三者中至少有一个成立且至多有一个成立，即三者中有且仅有一个成立。

证毕。

证明\( x \)为负实数\( \equiv \)\( -x \)为正实数：

必要性：

如果\( x \)为负实数，则\( \exists (a_n)_{n = 1}^{\infty} \)负远离\( 0 \) 使得\( x = \text{LIM}_{n \to \infty} a_n \)，即\( \exists c > 0, \forall n \geq 1, a_n \leq -c \)，从而有\( -a_n \geq c \)，即\( (-a_n)_{n = 1}^{\infty} \)正远离\( 0 \)，又\( -x = \text{LIM}_{n \to \infty} (-a_n) \)，可得\( -x \)为正实数。

充分性：

如果\( -x \)为正实数，则\( \exists (a_n)_{n = 1}^{\infty} \)正远离\( 0 \) 使得\( -x = \text{LIM}_{n \to \infty} a_n \)，即\( \exists c > 0, \forall n \geq 1, a_n \geq c \)，从而有\( -a_n \leq -c \)，即\( (-a_n)_{n = 1}^{\infty} \)负远离\( 0 \)，又\( x = \text{LIM}_{n \to \infty} (-a_n) \)，可得\( x \)为负实数。

证毕。

证明如果\( x \)和\( y \)都是正实数，则\( x + y \)和\( xy \)也都是正实数：

如果\( x \)和\( y \)都是正实数，则\( \exists (a_n)_{n = 1}^{\infty} \)正远离\( 0 \) 使得\( x = \text{LIM}_{n \to \infty} a_n \)，且\( \exists (b_n)_{n = 1}^{\infty} \)正远离\( 0 \) 使得\( y = \text{LIM}_{n \to \infty} b_n \)，可得\( \exists c_0 > 0, \forall n \geq 1, a_n \geq c_0 \)，且\( \exists c_1 > 0, \forall n \geq 1, b_n \geq c_1 \)。

由上可得，\( \forall n \geq 1, a_n + b_n \geq c_0 + c_1, a_nb_n \geq c_0c_1 \) ，又\( c_0 + c_1 > 0, c_0c_1 > 0 \)，可得\( (a_n + b_n)_{n = 1}^{\infty} \)和\( (a_nb_n)_{n = 1}^{\infty} \)都正远离\( 0 \)，再加上\( x + y = \text{LIM}_{n \to \infty} (a_n + b_n), xy = \text{LIM}_{n \to \infty} (a_nb_n) \)，可得\( x + y \)和\( xy \)都是正实数。

证毕。

练习5.4.2

题目：

Prove the remaining claims in Proposition 5.4.7.

Proposition 5.4.7的内容：

All the claims in Proposition 4.2.9 which held for rationals, continue to hold for real numbers.

Proposition 4.2.9的内容：

(Basic properties of order on the rationals). Let \( x, y, z \) be rational numbers. Then the following properties hold.

(Order trichotomy) Exactly one of the three statements \( x = y \), \( x < y \), or \( x > y \) is true.
(Order is anti-symmetric) One has \( x < y \) if and only if \( y > x \).
(Order is transitive) If \( x < y \) and \( y < z \), then \( x < z \).
(Addition preserves order) If \( x < y \), then \( x + z < y + z \).
(Positive multiplication preserves order) If \( x < y \) and \( z \) is positive, then \( xz < yz \).

注1：文中证明了命题5，这里不再证明。

注2：下面的证明基本上就是把定理4.2.9的证明复制过来，把“有理数”修改成“实数”而已，因为证明中用到的有理数属性，实数也满足。

证明命题1：

首先证明三者中至少有一个是成立的：

根据定理5.4.4，\( x - y \)有三种情况，且有且仅有一种成立：

\( x - y = 0 \)
\( x - y \)为正实数
\( x - y \)为负实数

如果\( x - y = 0 \)，则\( x = y \)。如果\( x - y \)为正实数，则根据定义，有\( x > y \)。如果\( x - y \)为负实数，则根据定义，有\( x < y \)。

综上，不论什么情况下，均至少有一种情况成立。

现在，证明三者中至多有一个是成立的：

如果\( x > y \)且\( x = y \)，则\( x - y \)为正实数且\( x - y = 0 \)，根据定理5.4.4，这两个不可能同时成立。

如果\( x < y \)且\( x = y \)，则\( x - y \)为负实数且\( x - y = 0 \)，根据定理5.4.4，这两个不可能同时成立。

如果\( x > y \)且\( x < y \)，则\( x - y \)同时为正实数以及负实数，根据定理5.4.4，这两个不可能同时成立。

综上，有三者中至多有一个是成立的且至少有一个成立，可得三者中有且仅有一个是成立的。

证毕。

证明命题2：

必要性：

如果\( x < y \)，则\( x - y \)为负实数，此时根据定理5.4.4，有\( -(x - y) = y - x \)为正实数，可得\( y > x \)。

充分性：

如果\( y > x \)，则\( y - x \)为正实数，此时此时根据定理5.4.4，有\( -(y - x) = x - y \)为负实数，可得\( x < y \)。

证毕。

证明命题3：

因为\( x < y \)且\( y < z \)，有\( x - y \)和\( y - z \)均为负实数，故\( (x - y) + (y - z) = x - z \)也为负实数（注：如果\( x - z \)为正实数，则\( -(x - y) + (-(y - z)) = z - x \)为负实数，即两个正实数相加为负实数，矛盾），即\( x < z \)。

证毕。

证明命题4：

如果\( x < y \)，则\( x - y \)为负实数，故\( (x + z) - (y + z) = x - y \)为负实数，即\( x + z < y + z \)。

证毕。

练习5.4.3

题目：

Show that for every real number \( x \) there is exactly one integer \( N \) such that \( N \leq x < N + 1 \). (This integer \( N \) is called the integer part of \( x \), and is sometimes denoted N = \( \lfloor x \rfloor \).)

证明：

首先证明存在性：

根据实数的三元论（Trichotomy），得：\( x = 0, x > 0, x < 0 \)三者有且仅有一个成立。

如果\( x = 0 \)，则\( 0 \leq x < 0 + 1 \)，即\( 0 \)就是我们要找的整数。

如果\( x > 0 \)，则根据定理5.4.12，有\( \exists q > 0 \in \mathbf{Q}, N > 0 \in \mathbf{N}, q \leq x \leq N \) 根据定理4.4.1，有\( \exists n \in \mathbf{Z}, n \leq q < n + 1 \)，可得\( n \leq x \leq N \)。

令\( K = N - n \)，可得\( K \)为自然数，对\( K \)进行数学归纳，我们要证明，不管\( K \)是哪个自然数，均可以找到一个满足题目要求的整数：

当\( K = 0 \)时，有\( N = n \)且\( N \leq x \leq N \)，即\( x = N \)，此时有\( N \leq x < N + 1 \)，即\( N \)就是我们要找的整数。

归纳假设当\( K = C \)时，命题成立，当\( K = C+\!+ \)时，如果\( n \leq x \leq N - 1 \)，此时\( (N - 1) - n = C \)，则根据归纳假设，有\( \exists N_0 \in \mathbf{Z}, N_0 \leq x < N_0 + 1 \)， \( N_0 \)就是我们要找的整数。如果\( N - 1 < x \leq N \)，此时如果\( x = N \)，则\( N \leq x < N + 1 \)，即\( N \)就是我们要找的整数。如果\( x \neq N \)，即\( N - 1 < x < N \)，则\( N - 1 \)就是我们要找的整数。至此，我们有\( K = C+\!+ \)时成立，归纳完毕。

综上，可得：如果\( x > 0 \)，则\( \exists N \in \mathbf{Z}, N \leq x < N + 1 \)。

现在还得证明\( x < 0 \)的情况：

因为\( x < 0 \)，有\( -x > 0 \)，根据前面的证明，有\( \exists N \in \mathbf{Z}, N \leq -x < N + 1 \)，同乘\( -1 \)，可得\( -N - 1 < x \leq -N \)。如果\( x = -N \)，则\( -N \leq x < -N + 1 \)，即\( -N \)就是我们要找的整数。如果\( x \neq -N \)，则\( -N - 1 < x < -N \)，即\( -N - 1 \)就是我们要找的整数。

现证明唯一性：

假设\( \exists N, N' \in \mathbf{Z}, N \leq x < N + 1, N' \leq x < N' + 1 \)，假设\( N \neq N' \)，此时分两种情况：

如果\( N > N' \)，则\( N \geq N' + 1 \)，可得\( N' + 1 \leq N \leq x < N' + 1 \)，矛盾，故\( N > N' \)不可能。

如果\( N' > N \)，则\( N' \geq N + 1 \)，可得\( N + 1 \leq N' \leq x < N + 1 \)，矛盾，故\( N' > N \)也不可能。

综上，有\( N = N' \)，即\( N \)是唯一的。

证毕。

练习5.4.4

题目：

Show that for any positive real number \( x > 0 \) there exists a positive integer \( N \) such that \( x > 1 / N > 0 \).

证明：

根据定理5.4.13，存在正整数\( N \)，使得\( Nx > 1 \)，因为\( N > 0 \)，根据定理5.4.8，有\( 1 / N > 0 \)，故不等式\( Nx > 1 \)两边同乘\( 1 / N \)，可得\( x > 1 / N > 0 \)。

证毕。

练习5.4.5

题目：

Prove Proposition 5.4.14. (Hint: use Exercise 5.4.4. You may also need to argue by contradiction.)

Proposition 5.4.14的内容：

Given any two real numbers \( x < y \), we can find a rational number \( q \) such that \( x < q < y \).

证明：

因为\( x < y \)，故\( y - x > 0 \)，此时根据练习5.4.4，有\( \exists N > 0 \in \mathbf{Z}, y - x > 1 / N \)，同乘\( N \)，得\( Ny - Nx > 1 \) （注：\( Ny \)和\( Nx \)的距离大于\( 1 \)，这意味着\( Ny \)和\( Nx \)之间至少还隔着一个整数，下面我们会利用这点得出矛盾）。

我们现在的任务就是找一个整数\( M \)，使得\( Nx < M < Ny \)，如果能找到这样的\( M \)，那么同除\( N \)便可得到\( x < M / N < y \)，这时候这个\( M / N \)就是我们要找的有理数了。假设这样的整数\( M \)不存在，此时根据练习5.4.3，\( \exists N_0 \leq Nx < N_0 + 1 \)，根据我们的假设，有\( N_0 + 1 \geq Ny \)，进一步可得\( N_0 \leq Nx < Ny \leq N_0 + 1 \)，但这意味着\( Ny - Nx \leq 1 \)，这和\( Ny - Nx > 1 \)矛盾，故假设不成立，有\( \exists M \in \mathbf{Z}, Nx < M < Ny \)，同除\( N \)得\( x < M / N < y \)，这里\( M / N \)就是我们要找的有理数。

证毕。

练习5.4.6

题目：

Let \( x, y \) be real numbers and let \( \epsilon > 0 \) be a positive real. Show that \( |x − y| < \epsilon \) if and only if \( y − \epsilon < x < y + \epsilon \), and that \( |x − y| \leq \epsilon \) if and only if \( y − \epsilon \leq x \leq y + \epsilon \).

证明：

根据定理4.3.3的命题3，有\( |x − y| \leq \epsilon \)当且仅当\( -\epsilon \leq x - y \leq \epsilon \)，同加\( y \)，可得\( y - \epsilon \leq x \leq y + \epsilon \)。

如果\( |x − y| \neq \epsilon \)，则\( y - \epsilon \neq x \)且\( y + \epsilon \neq x \) （假设\( y - \epsilon = x \)或\( y + \epsilon = x \)，则\( |x - y| = \epsilon \)，矛盾）。反之，如果\( y - \epsilon \neq x \)且\( y + \epsilon \neq x \)，则\( |x − y| \neq \epsilon \)（假设\( |x − y| = \epsilon \)，则\( y - \epsilon = x \)或\( y + \epsilon = x \)，矛盾）。综合前面的结论，可得\( |x − y| < \epsilon \)当且仅当\( y - \epsilon < x < y + \epsilon \)。

证毕。

练习5.4.7

题目：

Let \( x \) and \( y \) be real numbers. Show that \( x \leq y + \epsilon \) for all real numbers \( \epsilon > 0 \) if and only if \( x \leq y \). Show that \( |x − y| \leq \epsilon \) for all real numbers \( \epsilon > 0 \) if and only if \( x = y \).

证明第1部分：

必要性：

如果\( \forall \epsilon > 0, x \leq y + \epsilon \)，假设\( x > y \)，此时令\( \epsilon = (x - y) / 2 \)，有\( (x = (x + x) / 2) > ((x + y) / 2 = y + \epsilon) \)，这和\( x \leq y + \epsilon \)矛盾，故假设不成立，有\( x \leq y \)。

充分性：

如果\( x \leq y \)，则\( \forall \epsilon > 0 \)，有\( x \leq y + \epsilon \)。

证毕。

证明第2部分：

根据定理4.3.2的命题1，可得命题成立。

证毕。

练习5.4.8

题目：

Let \( (a_n)_{n = 1}^{\infty} \) be a Cauchy sequence of rationals, and let \( x \) be a real number. Show that if \( a_n \leq x \) for all \( n \geq 1 \), then \( \text{LIM}_{n \to \infty} a_n \leq x \). Similarly, show that if \( a_n \geq x \) for all \( n \geq 1 \), then \( \text{LIM}_{n \to \infty} a_n \geq x \). (Hint: prove by contradiction. Use Proposition 5.4.14 to find a rational between \( \text{LIM}_{n \to \infty} a_n \) and \( x \), and then use Proposition 5.4.9 or Corollary 5.4.10.)

证明：

如果\( \forall n \geq 1, a_n \leq x \)，此时假设\( \text{LIM}_{n \to \infty} a_n > x \)，则根据定理5.4.14，有 \( \exists q \in \mathbf{Q}, x < q < \text{LIM}_{n \to \infty} a_n \)，因为\( \forall n \geq 1, a_n \leq x \)，可得\( a_n < q \)，进一步根据推论5.4.10，可得\( \text{LIM}_{n \to \infty} a_n \leq q \)，但这和\( q < \text{LIM}_{n \to \infty} a_n \)矛盾，故假设不成立，有\( \text{LIM}_{n \to \infty} a_n \leq x \)。

如果\( \forall n \geq 1, a_n \geq x \)，此时假设\( \text{LIM}_{n \to \infty} a_n < x \)，则根据定理5.4.14，有 \( \exists q \in \mathbf{Q}, \text{LIM}_{n \to \infty} a_n < q < x \)，因为\( \forall n \geq 1, a_n \geq x \)，可得\( a_n > q \)，进一步根据推论5.4.10，可得\( \text{LIM}_{n \to \infty} a_n \geq q \)，但这和\( \text{LIM}_{n \to \infty} a_n < q \)矛盾，故假设不成立，有\( \text{LIM}_{n \to \infty} a_n \geq x \)。

证毕。

章节5.5

练习5.5.1

题目：

Let \( E \) be a subset of the real numbers \( R \), and suppose that \( E \) has a least upper bound \( M \) which is a real number, i.e., \( M = \sup(E) \). Let \( −E \) be the set \( -E = \{ -x : x \in E \} \). Show that \( −M \) is the greatest lower bound of \( −E \), i.e., \( −M = \inf(−E) \).

证明：

\( \forall E \)的上界\( M' \)，有\( x \leq M' \)，可得\( -x \geq -M' \)，即\( -M' \)是\( -E \)的下界。

\( \forall -E \)的下界\( K \)，如果\( -x \geq K \)，从而得到\( x \leq -K \)，即\( -K \)是\( E \)的上界，可得\( \forall -E \)的下界\( K \)，\( \exists M \)为\( E \)的上界，且\( -M = K \)，即\( -E \)的所有下界均能写成\( E \)的某个上界的取反，不会有遗漏。

因为\( M = \sup(E) \)，\( M \)是\( E \)的上界且 \( \forall E \)的上界\( M' \)，有\( M \leq M' \)，可得\( -M \)是\( -E \)的下界，且\( \forall -E \)的下界\( -M' \)，有\( -M \geq -M' \)，即\( -M = \inf(-E) \)。

证毕。

练习5.5.2

题目：

Let \( E \) be a non-empty subset of \( R \), let \( n \geq 1 \) be an integer, and let \( L < K \) be integers. Suppose that \( K / n \) is an upper bound for \( E \), but that \( L / n \) is not an upper bound for \( E \). Without using Theorem 5.5.9, show that there exists an integer \( L < m ≤ K \) such that \( m / n \) is an upper bound for \( E \), but that \( (m − 1)/n \) is not an upper bound for \( E \). (Hint: prove by contradiction, and use induction. It may also help to draw a picture of the situation.)

证明：

令\( D = K - L - 1 \)，因为\( L < K \)，故( K - L - 1 ≥ 0 )，即\( D \)为自然数，下面对\( D \)进行归纳。

当\( D = 0 \)时，\( K - L = 1 \)，此时\( K / n \)是\( E \)的上界， \( (K - 1) / n = L / n \)不是\( E \)的上界，也就说\( K \)就是我们要找的整数。

归纳假设当\( D = C \)时成立，当\( D = C+\!+ \)时：如果\( (K - 1) / n \)仍是\( E \)的上界，则由于\( D - 1 = (K - 1) - L - 1 = C \)，根据归纳假设，有\( \exists L < m \leq K - 1 \)，满足\( m / n \)是\( E \)的上界， \( (m - 1) / n \)不是\( E \)的上界，\( m \)就是我们要找的整数。相反，如果\( (K - 1) / n \)不是\( E \)的上界，则有\( K / n \)是\( E \)的上界， \( (K - 1) / n = L / n \)不是\( E \)的上界，也就说\( K \)就是我们要找的整数。

归纳完毕，可知不管\( L, K \)之间的间距有多大，都能找到满足条件的整数。

证毕。

练习5.5.3

题目：

Let \( E \) be a non-empty subset of \( R \), let \( n \geq 1 \) be an integer, and let \( m, m' \) be integers with the properties that \( m / n \) and \( m' / n \) are upper bounds for \( E \), but \( (m − 1) / n \) and \( (m' − 1) / n \) are not upper bounds for \( E \). Show that \( m = m' \). This shows that the integer \( m \) constructed in Exercise 5.5.2 is unique. (Hint: again, drawing a picture will be helpful.)

证明：

因为\( (m - 1) / n, (m' - 1) / n \)不是\( E \)的上界，故\( \exists x \in E, x > (m - 1) / n, x > (m' - 1) / n \)，又\( m / n, m' / n \)为\( E \)的上界，故\( (m - 1) / n < x \leq m / n, (m' - 1) / n < x \leq m' / n \), 可得\( m' / n > (m - 1) / n, m / n > (m' - 1) / n \)，即\( m' > m - 1, m > m' - 1 \)，进一步可得\( m' \geq m, m \geq m' \)，即\( m = m' \)。

证毕。

练习5.5.4

题目：

Let \( q_1, q_2, q_3 , \dots \) be a sequence of rational numbers with the property that \( |q_n − q_{n'}| \leq \dfrac{1}{M} \) whenever \( M \geq 1 \) is an integer and \( n, n' \geq \dfrac{1}{M} \). Show that \( q_1, q_2, q_3 , \dots \) is a Cauchy sequence. Furthermore, if \( S := \text{LIM}_{n \to \infty} q_n \), show that \( |q_M − S| \leq \dfrac{1}{M} \) for every \( M \geq 1 \). (Hint: use Exercise 5.4.8.)

证明：

\( \forall \epsilon > 0 \)，根据阿基米德属性， \( \exists M \geq 1, M \epsilon > 1 \)，即\( \dfrac{1}{M} < \epsilon \)， \( \forall n, n' \geq M \)，有\( |q_n - q_{n'}| \leq \dfrac{1}{M} < \epsilon \)，即\( q_1, q_2, q_3, \dots \)为柯西序列。

\( \forall n \geq M \)，有\( |q_n - q_M| \leq \dfrac{1}{M} \)，即\( q_M - \dfrac{1}{M} \leq q_n \leq q_M + \dfrac{1}{M} \)，为了使用练习5.4.8，我们需要整个序列都满足该性质，故我们构造一个新序列 \( (p)_{n = 1}^{\infty} \)，当\( n < M \)时，\( p_n = q_M \)，当\( n \geq M \)时，\( p_n = q_n \)，易得\( p_n \)和\( q_n \)为等价的柯西序列且\( \forall n \geq 1, p_M - \dfrac{1}{M} \leq p_n \leq p_M + \dfrac{1}{M} \)，根据练习5.4.8，有\( p_M - \dfrac{1}{M} \leq \text{LIM}_{n \to \infty} p_n \leq p_M + \dfrac{1}{M} \)，即\( p_M - \dfrac{1}{M} \leq S \leq p_M + \dfrac{1}{M} \)，进一步可得\( |p_M - S| = |S - p_M| \leq \dfrac{1}{M} \)。

证毕。

练习5.5.5

题目：

Establish an analogue of Proposition 5.4.14, in which “rational” is replaced by “irrational”.

证明：

注：证明和定理5.4.14思路是类似的，只不过这里得想办法让不等式涉及“无理数”。

令\( z \)为满足\( z^2 = 2 \)的实数，根据定理5.5.12，该实数是存在的，且根据定理4.4.4，不存在平方为\( 2 \)的有理数，故\( z \)不是有理数，而是我们要的“无理数”。

下面我们去证明题目要求的内容。

给定两个实数\( x < y \)，因为\( x < y \)，故\( y - x > 0 \)，此时根据练习5.4.4，有\( \exists N > 0 \in \mathbf{Z}, y - x > 1 / N \)，同乘\( N \)，得\( Ny - Nx > 1 \)，进一步可得\( (Ny - z) - (Nx - z) = Ny - Nx > 1 \)。（注：\( Ny - z \)和\( Nx - z \)的距离大于\( 1 \)，这意味着\( Ny - z \)和\( Nx - z \)之间至少还隔着一个整数，下面我们会利用这点得出矛盾）。

我们现在的任务就是找一个整数\( M \)，使得\( Nx - z < M < Ny - z \)，如果能找到这样的\( M \)，那么同加\( z \)后再同除\( N \)便可得到\( x < (M + z) / N < y \)，这时候这个\( (M + z) / N \)就是我们要找的“无理数”了。假设这样的整数\( M \)不存在，此时根据练习5.4.3，\( \exists N_0 \leq Nx - z < N_0 + 1 \)，根据我们的假设，有\( N_0 + 1 \geq Ny - z \)，进一步可得\( N_0 \leq Nx - z < Ny - z \leq N_0 + 1 \)，但这意味着\( (Ny - z) - (Nx - z) \leq 1 \)，这和\( (Ny - z) - (Nx - z) > 1 \)矛盾，故假设不成立，有\( \exists M \in \mathbf{Z}, Nx - z < M < Ny - z \)，同加\( z \)后再同除\( N \)得\( x < (M + z) / N < y \)。

下面我们证明\( (M + z) / N \)不是有理数：假设\( (M + z) / N \)是有理数，则\( (((M + z) / N) - (M / N))N = z \)也是有理数（整个表达式仅涉及有理数的加法、除法、乘法，故结果还是有理数），然而前面说了\( z \)不是有理数，矛盾，故假设不成立，有\( (M + z) / N \)不是有理数。

章节5.6

练习5.6.1

题目：

Prove Lemma 5.6.6. (Hints: review the proof of Proposition 5.5.12. Also, you will find proof by contradiction a useful tool, especially when combined with the trichotomy of order in Proposition 5.4.7 and Proposition 5.4.12. The earlier parts of the lemma can be used to prove later parts of the lemma. With part 5, first show that if \( x > 1 \) then \( x^{1 / n} > 1 \), and if \( x < 1 \) then \( x^{1 / n} < 1 \).)

Lemma 5.6.6的内容：

注：这里是勘误过的版本，勘误在作者的博客中：Analysis I。

Lemma 5.6.6. Let \( x, y \geq 0 \) be non-negative reals, and let \( n, m \geq 1 \) be positive integers.

If \( y = x^{1 / n} \), then \( y^n = x \).
Conversely, if \( y^n = x \), then \( y = x^{1 / n} \).
\( x^{1 / n} \) is a non-negative real number, and is positive if and only if x is positive.
We have \( x > y \) if and only if \( x^{1 / n} > y^{1 / n} \).
Here k ranges over the positive integers. If \( x > 1 \), then \( x^{1 / k} \) is a decreasing function of \( k \) (i.e., \( x^{1 / k} > x^{1 / l} \) whenever \( l > k \)). If \( x < 1 \), then \( x^{1 / k} \) is an increasing function of \( k \). If \( x = 1 \), then \( x^{1 / k} = 1 \) for all \( k \).
We have \( (xy)^{1 / n} = x^{1 / n}y^{1 / n} \).
We have \( (x^{1 / n})^{1 / m} = x^{1 / nm} \).

证明命题1：

如果\( y^n > x \)：

我们先证明\( \exists M > 0 \)，使得\( \forall 0 < \epsilon < 1 \)且\( \epsilon < y \)，有\( (y - \epsilon)^n \geq y^n - M\epsilon \) （特别需要注意，\( M \)对所有\( 0 < \epsilon < 1 \)且\( \epsilon < y \)都成立，即一个\( M \)适用于所有满足条件的\( \epsilon \)，故\( M \)的取值只能依赖于\( y, n \)，而不能依赖于\( \epsilon \)）：

令\( m = n - 1 \)，我们对\( m \)进行数学归纳，当\( m = 0 \)时，\( n = m + 1 = 1 \)， \( (y - \epsilon)^n = (y - \epsilon)^1 \geq y - 1 \times \epsilon \)，此时\( 1 \)就是我们要找的正数。

归纳假设当\( m = k \)时成立，当\( m = k+\!+ \)时，\( n = k + 2 \)， \( (y - \epsilon)^n = (y - \epsilon)^{k + 2} = (y - \epsilon)^{k + 1}(y - \epsilon) \)，根据归纳假设，\( \exists M > 0 \)，使得\( \forall 0 < \epsilon < 1 \)且\( \epsilon < y \)，有\( (y - \epsilon)^{k + 1} \geq y^{k + 1} - M\epsilon \)，又因为\( \epsilon < y \)，故\( y - \epsilon > 0 \)，可得\( (y - \epsilon)^{k + 1}(y - \epsilon) \geq (y^{k + 1} - M\epsilon)(y - \epsilon) \)，不等式右边\( (y^{k + 1} - M\epsilon)(y - \epsilon) = y^{k + 2} - (y^{k + 1} + My - M\epsilon)\epsilon \)，加上\( 0 < \epsilon < 1 \)，故\( y^{k + 2} - (y^{k + 1} + My - M\epsilon)\epsilon \leq y^{k + 2} - (y^{k + 1} + My - M)\epsilon \)，综上可得\( (y^{k + 1} - M\epsilon)(y - \epsilon) \leq y^{k + 2} - (y^{k + 1} + My - M)\epsilon \)。如果\( y^{k + 1} + My - M > 0 \)，则\( y^{k + 1} + My - M \)就是我们要找的正数，如果\( y^{k + 1} + My - M < 0 \)，则\( -y^{k + 1} - My + M \)就是我们要找的正数。综上可得\( m = k+\!+ \)时成立，归纳完毕。

现在继续回去证明命题。

前面证了：\( \exists M > 0 \)，使得\( \forall 0 < \epsilon < 1 \)且\( \epsilon < y \)，有\( (y - \epsilon)^n \geq y^n - M\epsilon \)，下面固定该\( M \)。

因为\( y^n > x \)，故\( y > 0 \)且\( y^n - x > 0 \)，根据5.4.12， \( \exists q \in \mathbf{Q} \)，满足\( 0 < q < y^n - x \)，再根据阿基米德属性，有\( \exists N > 0 \in \mathbf{Z} \)，使得\( Nq > M \)，从而有\( M(1 / N) < q < y^n - x \)，令\( \epsilon = \min(1 / N, y / 2) \)，则有 \( M\epsilon < y^n - x \)且\( 0 < \epsilon < 1 \)且\( \epsilon < y \)，进一步有\( y - M\epsilon > y^n - (y^n - x) = x \)，又\( (y - \epsilon)^n \geq y^n - M\epsilon \)，可得\( (y - \epsilon)^n > x \)。而\( \forall z \in \{ y \in \mathbf{R}, y \geq 0 \text{ and } y^n \leq x \} \)，有\( z \leq y - \epsilon \)，理由：假设\( z > y - \epsilon \)，则\( z^n \geq (y - \epsilon)^n > x \)，这和\( z^n \leq x \)矛盾。至此，可得\( y - \epsilon \)为\( \{ y \in \mathbf{R}, y \geq 0 \text{ and } y^n \leq x \} \) 的上界，且\( y - \epsilon < y \)，这和\( y \)为\( \{ y \in \mathbf{R}, y \geq 0 \text{ and } y^n \leq x \} \)的上确界矛盾。

综上，\( y^n > x \)这种情况不可能。

如果\( y^n < x \)：

我们先证明\( \exists M > 0 \)，使得\( \forall 0 < \epsilon < 1 \)，有\( (y + \epsilon)^n \leq y^n + M\epsilon \)：

令\( m = n - 1 \)，我们对\( m \)进行数学归纳，当\( m = 0 \)时，\( n = m + 1 = 1 \)， \( (y + \epsilon)^n = (y + \epsilon)^1 \leq y + 1 \times \epsilon \)，此时\( 1 \)就是我们要找的正数。

归纳假设当\( m = k \)时成立，当\( m = k+\!+ \)时，\( n = k + 2 \)， \( (y + \epsilon)^n = (y + \epsilon)^{k + 2} = (y + \epsilon)^{k + 1}(y + \epsilon) \)，根据归纳假设，\( \exists M > 0 \)，使得\( \forall 0 < \epsilon < 1 \)，有\( (y + \epsilon)^{k + 1} \leq y^{k + 1} + M\epsilon \)，又因为\( y + \epsilon > 0 \)，可得\( (y + \epsilon)^{k + 1}(y + \epsilon) \leq (y^{k + 1} + M\epsilon)(y + \epsilon) \)，不等式右边\( (y^{k + 1} + M\epsilon)(y + \epsilon) = y^{k + 2} + (y^{k + 1} + My + M\epsilon)\epsilon \)，加上\( 0 < \epsilon < 1 \)，故\( y^{k + 2} + (y^{k + 1} + My + M\epsilon)\epsilon \leq y^{k + 2} + (y^{k + 1} + My + M)\epsilon \)，综上可得\( (y^{k + 1} + M\epsilon)(y + \epsilon) \leq y^{k + 2} + (y^{k + 1} + My + M)\epsilon \)。这里\( y^{k + 1} + My + M \)就是我们要找的正数。综上可得\( m = k+\!+ \)时成立，归纳完毕。

现在继续回去证明命题。

前面证了：\( \exists M > 0 \)，使得\( \forall 0 < \epsilon < 1 \)，有\( (y + \epsilon)^n \leq y^n + M\epsilon \)，下面固定该\( M \)。

因为\( y^n < x \)，故\( x - y^n > 0 \)，根据5.4.12， \( \exists q \in \mathbf{Q} \)，满足\( 0 < q < x - y^n \)，再根据阿基米德属性，有\( \exists N > 0 \in \mathbf{Z} \)，使得\( Nq > M \)，从而有\( M(1 / N) < q < x - y^n \)，令\( \epsilon = 1 / N \)，则有 \( M\epsilon < x - y^n \)且\( 0 < \epsilon < 1 \)，进一步有\( y + M\epsilon < y^n + (x - y^n) = x \)，又\( (y + \epsilon)^n \leq y^n + M\epsilon \)，可得\( (y + \epsilon)^n < x \)，从而有\( y + \epsilon \in \{ y \in \mathbf{R}, y \geq 0 \text{ and } y^n \leq x \} \)，而\( y + \epsilon > y \)，这和\( y \)为\( \{ y \in \mathbf{R}, y \geq 0 \text{ and } y^n \leq x \} \)的上界矛盾。

综上，\( y^n < x \)这种情况也不可能。

既然\( y^n < x \)和\( y^n > x \)都不可能，根据序的三元论，可得\( y = x \)。

证毕。

证明命题2：

根据命题1，\( (x^{1 / n})^n = x \)。

如果\( y > x^{1 / n} \)，则根据定理5.6.3，有\( y^n > (x^{1 / n})^n = x \)，这和\( y^n = x \)矛盾，故\( y > x^{1 / n} \)不可能。

如果\( y < x^{1 / n} \)，则根据定理5.6.3，有\( y^n < (x^{1 / n})^n = x \)，这和\( y^n = x \)矛盾，故\( y < x^{1 / n} \)也不可能。

\( y > x^{1 / n} \)和\( y < x^{1 / n} \)均不可能，根据序的三元论，有\( y = x^{1 / n} \)。

证毕。

证明命题3：

证明前半部分：

假设\( x^{1 / n} < 0 \)，然而\( 0 \in \{ y \in \mathbf{R}, y \geq 0 \text{ and } y^n \leq x \} \)，这和\( x^{1 / n} \)为\( \{ y \in \mathbf{R}, y \geq 0 \text{ and } y^n \leq x \} \)的上界矛盾，故假设不成立，有\( x^{1 / n} \geq 0 \)。

证明后半部分：

必要性：

如果\( x^{1 / n} > 0 \)，根据定理5.6.3，有\( (x^{1 / n})^n > 0^n \)，根据命题1，有\( (x^{1 / n})^n = x \)，故\( x > 0 \)。

充分性：

如果\( x > 0 \)，此时假设\( x^{1 / n} \leq 0 \)，则根据定理5.6.3，有\( (x^{1 / n})^n \leq 0^n \)，即\( x \leq 0 \)，这和\( x > 0 \)矛盾，故假设不成立，有\( x^{1 / n} > 0 \)。

证毕。

证明命题4：

必要性：

如果\( x > y \)，此时假设\( x^{1 / n} \leq y^{1 / n} \)，则根据定理5.6.3，有\( (x^{1 / n})^n \leq (y^{1 / n})^n \)，即\( x \leq y \)，这和\( x > y \)矛盾，故假设不成立，有\( x^{1 / n} > y^{1 / n} \)。

充分性：

如果\( x^{1 / n} > y^{1 / n} \)，则根据定理5.6.3，有\( (x^{1 / n})^n > (y^{1 / n})^n \)，即\( x > y \)。

证毕。

证明命题5：

先证明一个引理：\( \forall d > 0 \in \mathbf{N} \)，如果\( x > 1 \)，则\( x^d > 1 \)，如果\( x < 1 \)，则\( x^d < 1 \)：

令\( m = d - 1 \)，当\( m = 0 \)时，则\( d = 1 \)，此时\( x^m = x^1 = x \)，如果\( x > 1 \)，则\( x^d = x^1 > 1 \)，如果\( x < 1 \)，则\( x^d = x^1 < 1 \)，即\( m = 0 \)时成立。

归纳假设当\( m = k \)时成立，当\( m = k+\!+ \)时， \( x^d = x^{(k+\!+) + 1} = x^{k+\!+} \times x \)。如果\( x > 1 \)，则根据归纳假设，有\( x^{k+\!+} > 1 \)，进而有\( x^{k+\!+} \times x > 1 \times 1 = 1 \)。如果\( x < 1 \)，则根据归纳假设，有\( x^{k+\!+} < 1 \)，进而有\( x^{k+\!+} \times x < 1 \times 1 = 1 \)。综上，有\( m = k+\!+ \)时成立，归纳完毕，引理证明完毕。

下面回去证明命题。

如果\( x > 1 \)：\( \forall l > k \)，假设\( x^{1 / k} \leq x^{1 / l} \)，则根据定理5.6.3，有\( (x^{1 / k})^{kl} \leq (x^{1 / l})^{lk} \)，可得\( ((x^{1 / k})^k)^l \leq ((x^{1 / l})^l)^k \)，即\( x^l \leq x^k \)。然而，\( \forall l > k \)，如果\( x > 1 \)，有\( x^l > x^k \)（理由：因为\( l > k \)，故\( \exists d > 0, l = k + d \)，从而有 \( x^l = x^{k + d} = x^k \times x^d \)，而\( x^d > 1 \)，故\( x^l = x^k \times x^d > x^k \times 1 = x^k \)），产生矛盾，故假设不成立，有\( x^{1 / k} > x^{1 / l} \)。

如果\( x < 1 \)：\( \forall l > k \)，假设\( x^{1 / k} \geq x^{1 / l} \)，则根据定理5.6.3，有\( (x^{1 / k})^{kl} \geq (x^{1 / l})^{lk} \)，可得\( x^l \geq x^k \)。然而，\( \forall l > k \)，如果\( x < 1 \)，有\( x^l < x^k \)（理由：因为\( l > k \)，故\( \exists d > 0, l = k + d \)，从而有 \( x^l = x^{k + d} = x^k \times x^d \)，而\( x^d < 1 \)，故\( x^l = x^k \times x^d < x^k \times 1 = x^k \)），产生矛盾，故假设不成立，有\( x^{1 / k} < x^{1 / l} \)。

如果\( x = 1 \)：如果\( 1^{1 / k} > 1 \)，则根据定理5.6.3，有\( (1^{1 / k})^k > 1^k \)，即\( 1 > 1 \)，矛盾，故\( 1^{1 / k} > 1 \)是不可能的。如果\( 1^{1 / k} < 1 \)，则根据定理5.6.3，有\( (1^{1 / k})^k < 1^k \)，即\( 1 < 1 \)，矛盾，故\( 1^{1 / k} < 1 \)也是不可能的。综上，有\( x^{1 / k} = 1^{1 / k} = 1 \)。

证毕。

证明命题6：

如果\( (xy)^{1 / n} > x^{1 / n}y^{1 / n} \)，则根据定理5.6.3，有\( ((xy)^{1 / n})^n > (x^{1 / n}y^{1 / n})^n \)，左侧 = \( xy \)，而右侧的\( (x^{1 / n}y^{1 / n})^n = (x^{1 / n})^n(y^{1 / n})^n = xy \)，故有\( xy > xy \)，矛盾，故\( (xy)^{1 / n} > x^{1 / n}y^{1 / n} \)是不可能的。

如果\( (xy)^{1 / n} < x^{1 / n}y^{1 / n} \)，则根据定理5.6.3，有\( ((xy)^{1 / n})^n < (x^{1 / n}y^{1 / n})^n \)，左侧 = \( xy \)，右侧 = \( xy \)，故有\( xy < xy \)，矛盾，故\( (xy)^{1 / n} < x^{1 / n}y^{1 / n} \)也是不可能的。

综上，有\( (xy)^{1 / n} = x^{1 / n}y^{1 / n} \)。

证毕。

证明命题7：

如果\( (x^{1 / n})^{1 / m} > x^{1 / nm} \)，则根据定理5.6.3，有\( ((x^{1 / n})^{1 / m})^m > (x^{1 / nm})^m \)，即\( x^{1 / n} > (x^{1 / nm})^m \)，再根据定理5.6.3，有\( (x^{1 / n})^n > ((x^{1 / nm})^m)^n \)，左侧 = \( x \)，右侧\( ((x^{1 / nm})^m)^n = (x^{1 / nm})^mn = x \)，故不等式可简化成\( x > x \)，矛盾，故\( (x^{1 / n})^{1 / m} > x^{1 / nm} \)是不可能的。

如果\( (x^{1 / n})^{1 / m} < x^{1 / nm} \)，则根据定理5.6.3，有\( ((x^{1 / n})^{1 / m})^m < (x^{1 / nm})^m \)，即\( x^{1 / n} < (x^{1 / nm})^m \)，再根据定理5.6.3，有\( (x^{1 / n})^n < ((x^{1 / nm})^m)^n \)，左侧 = \( x \)，右侧 = \( x \)，故不等式可简化成\( x < x \)，矛盾，故\( (x^{1 / n})^{1 / m} < x^{1 / nm} \)也是不可能的。

综上，有\( (x^{1 / n})^{1 / m} = x^{1 / nm} \)。

证毕。

练习5.6.2

题目：

Prove Lemma 5.6.9. (Hint: you should rely mainly on Lemma 5.6.6 and on algebra.)

Lemma 5.6.9的内容：

Let \( x, y > 0 \) be positive reals, and let \( q, r \) be rationals.

\( x^q \) is a positive real.
\( x^{q + r} = x^qx^r \) and \( (x^q)^r = x^{qr} \).
\( x^{-q} = 1 / x^q \).
If \( q > 0 \), then \( x > y \) if and only if \( x^q > y^q \).
If \( x > 1 \), then \( x^q > x^r \) if and only if \( q > r \). If \( x < 1 \), then \( x^q > x^r \) if and only if \( q < r \).

证明命题1：

\( \exists a, b \in \mathbf{Z} \text{且} b > 0 \)，使得\( q = a / b \)，从而有\( x^q = x^{a / b} = (x^{1 / b})^a \)，根据引理5.6.6的命题3，有\( x^{1 / b} > 0 \)，如果\( a \geq 0 \)，则根据定理5.6.3，有\( (x^{1 / b})^a > 0^a = 0 \)。如果\( a < 0 \)，则\( (x^{1 / b})^a = 1 / (x^{1 / b})^{-a} \)，加上\( (x^{1 / b})^{-a} > 0 \)，故\( (x^{1 / b})^a = 1 / (x^{1 / b})^{-a} > 0 \)。

综上，有\( x^q > 0 \)。

证毕。

证明命题2：

证明\( x^{q + r} = x^qx^r \)：

\( \exists a, b, c, d \in \mathbf{Z} \text{且} b > 0, d > 0 \)，使得\( q = a / b, r = c / d \)，从而有\( x^{q + r} = x^{(a / b) + (c / d)} = x^{(ad + bc) / bd} = (x^{1 / bd})^{ad + bc} = (x^{1 / bd})^{ad}(x^{1 / bd})^{bc} = (((x^{1 / b})^{1 / d})^d)^a(((x^{1 / d})^{1 / b})^b)^c = (x^{1 / b})^a(x^{1 / d})^c = x^qx^r \)

证毕。

证明\( (x^q)^r = x^{qr} \)：

\( \exists a, b, c, d \in \mathbf{Z} \text{且} b > 0, d > 0 \)，使得\( q = a / b, r = c / d \)，从而有左边 = \( (x^q)^r = (x^{a / b})^{c / d} = (((x^{1 / b})^a)^{1 / d})^c \)，右边 = \( x^{qr} = x^{(a / b)(c / d)} = x^{(ac) / (bd)} = (x^{1 / bd})^{ac} = ((x^{1 / b})^{1 / d})^{ac} \)， \( \text(左边)^{bd} = ((((x^{1 / b})^a)^{1 / d})^c)^{bd} = (((x^{1 / b})^a)^{1 / d})^{cbd} = ((((x^{1 / b})^a)^{1 / d})^d)^{cb} = ((x^{1 / b})^a)^{cb} = (x^{1 / b})^{acb} = ((x^{1 / b})^b)^{ac} = x^{ac} \)， \( \text(右边)^{bd} = (((x^{1 / b})^{1 / d})^{ac})^{bd} = ((x^{1 / b})^{1 / d})^{acbd} = (((x^{1 / b})^{1 / d})^d)^{acb} = (x^{1 / b})^{acb} = ((x^{1 / b})^b)^{ac} = x^{ac} \)，因为\( x, y, bd > 0 \)且\( \text(左边)^{bd} = \text(右边)^{bd} \)，根据定理4.3.12（或者说通过定理5.6.3）可得\( 左边 = 右边 \)，即\( (x^q)^r = x^{qr} \)

证毕。

证明命题3：

\( \exists a, b \in \mathbf{Z} \text{且} b > 0 \)，使得\( q = a / b \)。

如果\( q = 0 \)，则\( a = 0 \)，此时\( x^{-q} = x^{(-0) / b} = (x^{1 / b})^{-0} = 1 \)，而\( x^q = (x^{1 / b})^{0} = 1 \)，故有\( x^{-q} = 1 / x^q = 1 \)。

如果\( q > 0 \)，则\( a > 0 \)，此时\( x^{-q} = x^{(-a) / b} = (x^{1 / b})^{-a} = 1 / (x^{1 / b})^a = 1 / x^q \)。

如果\( q < 0 \)，则\( a < 0 \)，此时\( x^{-q} = x^{(-a) / b} = (x^{1 / b})^{-a} \) 而\( x^q = (x^{1 / b})^a = 1 / (x^{1 / b})^{-a} \)，故有\( x^{-q} = 1 / x^q \)。

证毕。

证明命题4：

\( \exists a, b \in \mathbf{Z} \text{且} b > 0 \)，使得\( q = a / b \)，又\( q > 0 \)，故\( a > 0 \)。

必要性：

如果\( x > y \)，此时有\( x^{1 / b} > y^{1 / b} \)，理由：假设\( x^{1 / b} \leq y^{1 / b} \)，则\( (x^{1 / b})^b \leq (y^{1 / b})^b \)，即\( x \leq y \)，矛盾，故假设不成立，有\( x^{1 / b} > y^{1 / b} \)。进一步可得\( (x^{1 / b})^a > (y^{1 / b})^a \)，即\( x^q > y^q \)。

充分性：

如果\( x^q > y^q \)，则\( (x^{1 / b})^a > (y^{1 / b})^a \)，此时有\( x^{1 / b} > y^{1 / b} \) ，理由：假设\( x^{1 / b} \leq y^{1 / b} \)，则\( (x^{1 / b})^a \leq (y^{1 / b})^a \)，矛盾，故假设不成立，有\( x^{1 / b} > y^{1 / b} \)。进一步可得\( x > y \)，理由：假设\( x \leq y \)，则根据必要性，有\( x^{1 / b} \leq y^{1 / b} \) （必要性中，没有证明\( \leq \)的情况，不过如果把等于的情况单独拿出来考虑，会发现也是成立的），矛盾，故假设不成立，有\( x > y \)。

证毕。

证明命题5：

证明\( x > 1 \)的情况：

必要性：

如果\( x^q > x^r \)，假设\( q \leq r \)，则\( \exists d \in \mathbf{N}, r = q + d \)，此时\( x^r = x^{q + d} = x^qx^d \)，而\( x > 1 \)，故\( x^d \geq 1 \)，进一步可得\( x^q \times x^d \geq x^q \times 1 \)，即\( x^r \geq x^q \)，矛盾，故假设不成立，有\( q > r \)。

充分性：

如果\( q > r \)，则\( \exists d > 0 \in \mathbf{N}, q = r + d \)，假设\( x^q \leq x^r \)，即\( x^{r + d} \leq x^r \)，进一步有\( x^rx^d \leq x^r \)，但这意味着\( x^d \leq 1 \) （因为如果\( x^d > 1 \)，则\( x^r \times x^d > x^r \times 1 \)，矛盾），这和\( x^d > 1 \)矛盾（因为\( x > 1, d > 0 \)，故\( x^d > 1 \)），故假设不成立，有\( x^q > x^r \)。

证毕。

证明\( x < 1 \)的情况：

必要性：

如果\( x^q > x^r \)，假设\( q \geq r \)，则\( \exists d \in \mathbf{N}, q = r + d \)，此时\( x^q = x^{r + d} = x^rx^d \)，而\( x < 1 \)，故\( x^d \leq 1 \)，进一步可得\( x^r \times x^d \leq x^r \times 1 \)，即\( x^q \leq x^r \)，矛盾，故假设不成立，有\( q < r \)。

充分性：

如果\( q < r \)，则\( \exists d > 0 \in \mathbf{N}, r = q + d \)，假设\( x^q \leq x^r \)，即\( x^q \leq x^{q + d} \)，进一步有\( x^q \leq x^qx^d \)，但这意味着\( x^d \geq 1 \) （因为如果\( x^d < 1 \)，则\( x^q \times 1 > x^q \times x^d \)，矛盾），这和\( x^d < 1 \)矛盾（因为\( x < 1, d > 0 \)，故\( x^d < 1 \)），故假设不成立，有\( x^q > x^r \)。

证毕。

练习5.6.3

题目：

If x is a real number, show that \( |x| = (x^2)^{1 / 2} \).

证明：

如果\( x \geq 0 \)，则\( |x| = x \)，且根据引理5.6.6的命题2（把\( x \)代入\( y \)，\( x^2 \)代入\( x \)），有\( (x^2)^{1 / 2} = x = |x| \)。

如果\( x < 0 \)，则\( |x| = -x \)，且根据引理5.6.6的命题2，有\( ((-x)^2)^{1 / 2} = -x \)，而\( x^2 = (-x)^2 \)，故\( (x^2)^{1 / 2} = -x = |x| \)。

证毕。

参考文章

ANALYSIS I EXERCISES

目录

陶哲轩Analysis I习题的参考解答及思考（第5章）

第5章

版本

章节5.1

练习5.1.1

章节5.2

练习5.2.1

练习5.2.2

章节5.3

练习5.3.1

练习5.3.2

练习5.3.3

练习5.3.4

练习5.3.5

章节5.4

练习5.4.1

练习5.4.2

练习5.4.3

练习5.4.4

练习5.4.5

练习5.4.6

练习5.4.7

练习5.4.8

章节5.5

练习5.5.1

练习5.5.2

练习5.5.3

练习5.5.4

练习5.5.5

章节5.6

练习5.6.1

练习5.6.2

练习5.6.3

参考文章