陶哲轩Analysis I习题的参考解答及思考（附录A）
附录A
版本
Analysis I（第3版）。
章节A.1
练习A.1.1
题目：
What is the negation of the statement “either X is true, or Y is true, but not both”?
解答：
命题“要么\( X \)为真，要么\( Y \)为真，但是\( X, Y \)不同时为真”的否命题为：
- “\( X, Y \)同时为真或者\( X, Y \)同时为假”
- “\( X, Y \)同真假”
练习A.1.2
题目：
What is the negation of the statement “X is true if and only if Y is true”? (There may be multiple ways to phrase this negation.)
解答：
命题“\( X \)为真当且仅当\( Y \)为真”的否命题为：
- “（\( X \)为真且\( Y \)为假）或（\( Y \)为真且\( X \)为假）”
- “\( X, Y \)有不同的真假值”
- “\( X, Y \)中有且仅有一个为真”
- “\( X, Y \)中有且仅有一个为假”
练习A.1.3
题目：
Suppose that you have shown that whenever \( X \) is true, then \( Y \) is true, and whenever \( X \) is false, then \( Y \) is false. Have you now demonstrated that \( X \) and \( Y \) are logically equivalent? Explain.
解答：
是的，这样我们就证明了\( X, Y \)在逻辑上等价了。我们已经证明了“当\( X \)为真时，\( Y \)为真”了，还差证明“当\( Y \)为真时，\( X \)为真”，假设“当\( Y \)为真时，\( X \)为假”，但是我们已经证明了“当\( X \)为假时，\( Y \)为假”，于是可得\( Y \)为假，然而这和 \( Y \)为真矛盾，由于一个命题不可能即是真又是假，故假设不可能成立，于是有“当\( Y \)为真时，\( X \)为真”。综上，\( X, Y \)在逻辑上等价。
练习A.1.4
题目：
Suppose that you have shown that whenever \( X \) is true, then \( Y \) is true, and whenever \( Y \) is false, then \( X \) is false. Have you now demonstrated that \( X \) is true if and only if \( Y \) is true? Explain.
解答：
不，\( X, Y \)不一定在逻辑上等价，还可能存在“当\( Y \)为真时，\( X \)为假”的情况。
练习A.1.5
题目：
Suppose you know that \( X \) is true if and only if \( Y \) is true, and you know that \( Y \) is true if and only if \( Z \) is true. Is this enough to show that \( X, Y, Z \) are all logically equivalent? Explain.
解答：
是的，这样我们就证明了\( X, Y, Z \)在逻辑上全员等价了。由\( X, Y \)在逻辑上等价，可得“当\( X \)为真时，\( Y \)为真”，由\( Y, Z \)在逻辑上等价，可得“当\( Y \)为真时，\( Z \)为真”，于是可得“当\( X \)为真时，\( Y \)为真，进而\( Z \)为真”，简而言之，就是“当\( X \)为真时，\( Z \)为真”。同理易证“当\( Z \)为真时，\( X \)为真”。综上，\( X, Z \)在逻辑上等价，加上\( X, Y \)在逻辑上等价以及\( Y, Z \)在逻辑上等价，可得\( X, Y, Z \)在逻辑上两两相互等价，即在逻辑上全员等价。
练习A.1.6
题目：
Suppose you know that whenever \( X \) is true, then \( Y \) is true; that whenever \( Y \) is true, then \( Z \) is true; and whenever \( Z \) is true, then \( X \) is true. Is this enough to show that \( X, Y, Z \) are all logically equivalent? Explain.
解答：
是的，这样我们就证明了\( X, Y, Z \)在逻辑上全员等价了。我们已经证明了“当\( X \)为真时，\( Y \)为真”，为了证明\( X, Y \)在逻辑上等价，还得证明“当\( Y \)为真时，\( X \)为真”，我们已经证明了“当\( Y \)为真时，\( Z \)为真”，加上证明了的“当\( Z \)为真时，\( X \)为真”，可得“当\( Y \)为真时，\( Z \)为真，进而\( X \)为真”，即“当\( Y \)为真时，\( X \)为真”。综上，\( X, Y \)在逻辑上等价。
同理易证\( Y, Z \)在逻辑上等价以及\( X, Z \)在逻辑上等价，于是有\( X, Y, Z \)在逻辑上两两相互等价，即在逻辑上全员等价。
章节A.5
练习A.5.1
题目：
What does each of the following statements mean, and which of them are true? Can you find gaming metaphors for each of these statements?
- For every positive number \( x \), and every positive number \( y \), we have \( y^2 = x \).
- There exists a positive number \( x \) such that for every positive number \( y \), we have \( y^2 = x \).
- There exists a positive number \( x \), and there exists a positive number \( y \), such that \( y^2 = x \).
- For every positive number \( y \), there exists a positive number \( x \) such that \( y^2 = x \).
- There exists a positive number \( y \) such that for every positive number \( x \), we have \( y^2 = x \).
解答1：
命题的意思： 任意正数均是任意正数的平方。
这个命题是错的，反例：给定一个正数\( x = 3 \)，在此基础上，再给定一个正数\( y = 100 \)，则\( y^2 = 10000 \neq 3 = x \)。
游戏比喻：正数\( x, y \)均由对手选定，如果\( y^2 = x \)，则你获胜。如果你总是可以获胜，则该命题为真。但明显的，你不一定可以获胜，因为对手可以选一个正数\( x \)，然后选择另外一个正数\( y \)，但\( y^2 \neq x \)。
解答2：
命题的意思：存在一个正数是任意正数的平方。
这个命题是错的，假设真存在这样的正数\( x \)，取\( y := 1 \)，则\( y^2 = 1 = x \)，再取\( y := 2 \)，则\( y^2 = 4 = x \)，于是得到\( 1 = x = 4 \)，但是\( 1 \neq 4 \)，矛盾，于是这样的正数\( x \)不存在。
游戏比喻：你选定一个正数\( x \)，然后对手选定一个正数\( y \)，如果\( y^2 = x \)，则你获胜。明显的，你不一定可以获胜，因为不管你选定什么正数\( x \)，对手总是可以找一个正数\( y \)，使得\( y^2 \neq x \) 。
解答3：
命题的意思：存在一个正数是另外一个正数的平方。
这个命题是对的，取\( x := 4 \)，针对该正数\( x \)，取\( y := 2 \)，则\( y^2 = x \)。
游戏比喻：正数\( x, y \)均由你选定，如果\( y^2 = x \)，则你获胜。你总是可以获胜，比如你可以每次都取\( x := 4, y := 2 \)。
解答4：
命题的意思：任意正数的平方均是正数。
这个命题是对的，针对任意正数\( y \)，你取\( x := y^2 \)，则\( x \)为正数且\( y^2 = x \)。
游戏比喻：对手选定一个正数\( y \)，然后你选定一个正数\( x \)，如果\( y^2 = x \)，则你获胜。你总是可以获胜，因为在对手选定一个正数\( y \)后，你总是可以选\( x := y^2 \)。
解答5：
命题的意思：存在一个正数的平方是任意正数。
这个命题是错的，假设真的存在这样的正数\( y \)，取\( x := 1 \)，则\( y^2 = 1 \)，再取\( x := 2 \)，则\( y^2 = 2 \)，于是有\( 1 = y^2 = 2 \)，但\( 1 \neq 2 \)，矛盾，于是这样的正数\( x \)不存在。
游戏比喻：你选定一个正数\( y \)，然后对手选定一个正数\( x \)，如果\( y^2 = x \)，则你获胜。你不一定可以获胜，因为在你选定一个正数\( y \)后，对手总是可以选正数\( x := y^2 - 1 \)。
章节A.7
练习A.7.1
题目：
Suppose you have four real numbers \( a, b, c, d \) and you know that \( a = b \) and \( c = d \). Use the above four axioms to deduce that \( a + d = b + c \).
证明：
定义函数\( f_d : \mathbf{R} \to \mathbf{R}, \forall x \in \mathbf{R} \)，令\( f_d(x) := x + d \)，则由代入公理以及\( a = b \)，可得\( f(a) = f(b) \)，由\( f(a) = a + d \)以及对称公理，可得\( a + d = f(a) \)，由传递公理以及\( f(a) = f(b) \)，可得\( a + d = f(b) \)，由传递公理以及\( f(b) = b + d \)，可得\( a + d = b + d \)，同理可得\( b + c = b + d \)，再由对称公理，可得\( b + d = b + c \)，接着由传递公理，可得\( a + d = b + c \)。
证毕。