Linear Algebra Done Right 4th 习题的参考解答及思考（第3章）
第3章
章节3A
练习3A.1
题目：
Suppose \( b, c \in \mathbf{R} \). Define \( T: \mathbf{R}^3 \to \mathbf{R}^2 \) by \( T(x, y, z) = (2x - 4y + 3z + b, 6x + cxyz) \). Show that \( T \) is linear if and only if \( b = c = 0 \).
证明：
必要性：
如果\( T \)为线性映射，则\( \forall u = (u_1, u_2, u_3), v = (v_1, v_2, v_3) \in \mathbf{R}^3 \)，有\( T(u + v) = T(u) + T(v) \)，可得\( 2(u_1 + v_1) - 4(u_2 + v_2) + 3(u_3 + v_3) + b, 6(u_1 + v_1) + c(u_1 + v_1)(u_2 + v_2)(u_3 + v_3) = (2u_1 - 4u_2 + 3u_3 + b, 6u_1 + cu_1u_2u_3) + (2v_1 - 4v_2 + 3v_3 + b, 6v_1 + cv_1v_2v_3) \)，可得\( 2b = b, c(u_1u_2u_3 + v_1v_2v_3) = c(u_1 + v_1)(u_2 + v_2)(u_3 + v_3) \)，由\( 2b = b \)，可得\( b = 0 \)，假设\( c \neq 0 \)，则由\( c(u_1u_2u_3 + v_1v_2v_3) = c(u_1 + v_1)(u_2 + v_2)(u_3 + v_3) \)，可得\( (u_1u_2u_3 + v_1v_2v_3) = (u_1 + v_1)(u_2 + v_2)(u_3 + v_3) \)对所有 \( u = (u_1, u_2, u_3), v = (v_1, v_2, v_3) \in \mathbf{R}^3 \)都成立，特别的，我们令\( u = (1, 0, 0), v = (0, 1, 0) \)，则\( (u_1u_2u_3 + v_1v_2v_3) = 2 \neq 0 = (u_1 + v_1)(u_2 + v_2)(u_3 + v_3) \)矛盾，因此假设不成立，可得\( c = 0 \)。
充分性：
如果\( b = c = 0 \)，则\( T(x, y, z) = (2x - 4y + 3z, 6x) \)，此时\( \forall u = (u_1, u_2, u_3), v = (v_1, v_2, v_3) \in \mathbf{R}^3 \)，可得\( T(u + v) = 2(u_1 + v_1) - 4(u_2 + v_2) + 3(u_3 + v_3), 6(u_1 + v_1) \)，而\( T(u) + T(v) = (2u_1 - 4u_2 + 3u_3, 6u_1) + (2v_1 - 4v_2 + 3v_3, 6v_1) = 2(u_1 + v_1) - 4(u_2 + v_2) + 3(u_3 + v_3), 6(u_1 + v_1) = T(u + v) \)，可得\( T(u + v) = T(u) + T(v) \)，类似的，易得\( \forall \lambda \in \mathbf{R}, v \in \mathbf{R}^3 \)，有\( T(\lambda v) = \lambda T(v) \)，综上，有\( T \)为线性映射。
证毕。
练习3A.2
题目：
Suppose \( b, c \in \mathbf{R} \). Define \( T: \mathcal{P}(\mathbf{R}) \to \mathbf{R}^2 \) by \[ Tp = (3p(4) + 5p'(6) + bp(1)p(2), \int_{-1}^{2} x^3p(x) \ dx + c \sin p(0)). \] Show that \( T \) is linear if and only if \( b = c = 0 \).
证明：
必要性：
如果\( T \)为线性映射，则\( \forall p, q \in \mathcal{P}(\mathbf{R}) \)， \( T(p + q) = T(p) + T(q) \)，可得\( 3(p + q)(4) + 5(p' + q')(6) + b((p + q)(1))((p + q)(2)) = (3p(4) + 5p'(6) + bp(1)p(2)) + (3q(4) + 5q'(6) + bq(1)q(2)) \) 以及\( \int_{-1}^{2} x^3(p + q)(x) \ dx + c \sin (p + q)(0) = (\int_{-1}^{2} x^3p(x) \ dx + c \sin p(0)) + (\int_{-1}^{2} x^3q(x) \ dx + c \sin q(0)) \)。
由前者解得\( b((p + q)(1))((p + q)(2)) = bp(1)p(2) + bq(1)q(2) = b(p(1)p(2) + q(1)q(2)) \)，假设\( b \neq 0 \)，则\( ((p + q)(1))((p + q)(2)) = p(1)p(2) + q(1)q(2) \)，举两个特别的\( p, q \)，易得矛盾，因此假设不成立，可得\( b = 0 \)。
由后者解得\( c \sin (p + q)(0) = c \sin p(0) + c \sin q(0) = c(\sin p(0) + \sin q(0)) \)，同理，在假设\( c \neq 0 \)的情况下举反例易得矛盾，因此假设不成立，可得\( c = 0 \)。
充分性：
如果\( b = c = 0 \)，则\( Tp = (3p(4) + 5p'(6), \int_{-1}^{2} x^3p(x) \ dx) \)，易验证\( \forall p, q \in \mathcal{P}(\mathbf{R}), \forall \lambda \in \mathbf{R} \)，有\( T(p + q) = Tp + Tq, T(\lambda p) = \lambda Tp \)，可得\( T \)为线性映射。
证毕。
练习3A.3
Suppose that \( T \in \mathcal{L}(\mathbf{F}^n, \mathbf{F}^m) \). Show that there exist scalars \( A_{j, k} \in \mathbf{F} \) for \( j = 1, \dots, m \) and \( k = 1, \dots, n \) such that \[ T(x_1, \dots, x_n) = (A_{1, 1}x_1 + \dots + A_{1, n}x_n, \dots, A_{m, 1}x_1 + \dots + A_{m, n}x_n) \] for every \( (x_1, \dots, x_n) \in \mathbf{F}^n \). (This exercise shows that the linear map has the form promised in the second to last item of Example 3.3.)
证明：
一个线性映射由它对所有基向量的映射唯一决定，因此我们只需要关注对基向量的映射即可。
令\( u_1, \dots, u_n \)为\( \mathbf{F}^n \)的标准基，令\( v_1, \dots, v_m \)为\( \mathbf{F}^m \)的标准基， \( \forall 1 \leq i \leq n \)，令\( T(u_i) = w_i \)，则\( w_i \in \mathbf{F}^m \)，可得\( \exists A_{1, i}, \dots, A_{m, i} \in \mathbf{F} \)，使得\( T(u_i) = w_i = A_{1, i}v_1 + \dots + A_{m, i}v_m \)，进而\( \forall (x_1, \dots, x_n) \in \mathbf{F}^n \)，由\( T \)为线性映射，可得\( T((x_1, \dots, x_n)) = x_1 T(u_1) + \dots + x_n T(u_n) = x_1(A_{1, 1}v_1 + \dots + A_{m, 1}v_m) + \dots + x_n(A_{1, n}v_1 + \dots + A_{m, n}v_m) = (A_{1, 1}x_1 + \dots + A_{1, n}x_n, \dots, A_{m, 1}x_1 + \dots + A_{m, n}x_n) \)。
证毕。
练习3A.4
Suppose \( T \in \mathcal(V, W) \) and \( v_1, \dots, v_m \) is a list of vectors in \( V \) such that \( Tv_1, \dots, Tv_m \) is a linearly independent list in \( W \). Prove that \( v_1, \dots, v_m \) is linearly independent.
证明：
假设\( v_1, \dots, v_m \)线性相关，则存在不全为\( 0 \)的系数\( a_1, \dots, a_m \)满足 \( a_1v_1 + \dots + a_mv_m = 0 \)，任取其中一个不为\( 0 \)的系数\( a_k \)，则\( a_k v_k = -a_1v_1 - \dots - a_{k - 1}v_{k - 1} - a_{k + 1}v_{k + 1} - \dots - a_mv_{m} \)，由\( T \)为线性映射，可得\( a_k Tv_k = -a_1Tv_1 - \dots - a_{k - 1}Tv_{k - 1} - a_{k + 1}Tv_{k + 1} - \dots - a_mTv_{m} \)，移项可得\( a_1Tv_1 + \dots + a_mTv_m = 0 \)，但这里\( a_k \neq 0 \)，这意味着\( Tv_1, \dots, Tv_m \)线性相关，矛盾，因此假设不成立，有\( v_1, \dots, v_m \)线性相关。
证毕。
练习3A.5
题目：
Prove that \( \mathcal{L}(V, W) \) is a vector space, as was asserted in 3.6.
证明：
看着定义1.20一个个验证过去。
证明满足交换律：
\( \forall S, T \in \mathcal{L}(V, W) \)，有\( \forall v \in V, (S + V)(v) = Sv + Tv = Tv + Sv = (T + S)v \)，可得\( S + T = T + S \)。
证明满足结合律：
\( \forall T_1, T_2, T_3 \in \mathcal{L}(V, W) \)，有\( \forall v \in V, ((T_1 + T_2) + T_3)(v) = (T_1v + T_2v) + T_3v = T_1v + (T_2v + T_3v) = (T_1 + (T_2 + T_3))(v) \)，可得\( (T_1 + T_2) + T_3 = T_1 + (T_2 + T_3) \)。
证明加法单位元的存在性：
构造\( 0 \in \mathcal{L}(V, W) \)，\( \forall v \in V \)，令\( 0(v) = 0 \)，则易得\( \forall S \in \mathcal{L}(V, W) \)， \( S + 0 = S \)。
证明加法逆元的存在性：
\( \forall S \in \mathcal{L}(V, W) \)，构造\( T \in \mathcal{L}(V, W) \)， \( \forall v \in V \)，令\( T(v) = -S(v) \)，易得\( S + T = 0 \)。
证明乘法单位元的存在性：
\( \forall S \in \mathcal{L}(V, W) \)，有\( \forall v \in V \)，\( (1S)(v) = 1(Sv) = Sv \)，可得\( 1S = S \)。
证明满足分配律：
\( \forall S, T \in \mathcal{L}(V, W), \forall a, b \in \mathbf{F} \)。
\( \forall v \in V \)，有\( (a(S + T))(v) = a((S + T)(v)) = a(Sv + Tv) = aSv + aTv \)，可得\( a(S + T) = aS + aT \)。
\( \forall v \in V \)，有\( ((a + b)S)(v) = (a + b)(Sv) = aSv + bSv \)，可得\( (a + b)S = aS + bS \)。
综上，根据定义1.20，可得\( \mathcal{L}(V, W) \)为向量空间。
证毕。
练习3A.6
题目：
Prove that multiplication of linear maps has the associative, identity, and distributive properties asserted in 3.8.
3.8的内容：
associativity
\( (T_1T_2)T_3 = T_1(T_2T_3) \) whenever \( T_1, T_2 \), and \( T_3 \) are linear maps such that the products make sense (meaning \( T_3 \) maps into the domain of \( T_2 \) and \( T_2 \) maps into the domain of \( T_1 \)).
identity
\( TI = IT = T \) whenever \( T \in \mathcal{L}({V, W}) \); here the first \( I \) is the identity operator on \( V \), and the second \( I \) is the identity operator on \( W \).
distributive properties
\( (S_1 + S_2)T = S_1T + S_2T \) and \( S(T_1 + T_2) = ST_1 + ST_2 \) whenever \( T, T_1, T_2 \in \mathcal{L}(U, V) \) and \( S, S_1, S_2 \in \mathcal{L}(V, W) \).
证明：
证明满足结合律：
线性映射的乘法就是函数的复合，而我们知道函数的复合是复合结合律的，简单写的话，到这里就可以说结合律成立了，详细点的话，如下：
\( \forall T_1 \in \mathcal{L}(V_1, V_2), T_2 \in \mathcal{L}(V_2, V_3), T_3 \in \mathcal{L}(V_3, V_4) \)，我们有\( \forall v \in V_1, ((T_1T_2)T_3)(x) = (T_1T_2)(T_3x) = T_1(T_2(T_3x)) = T_1((T_2T_3)(x)) = (T_1(T_2T_3))(x) \)，综上，有\( (T_1T_2)T_3 = T_1(T_2T_3) \)。
证明乘法单位元的存在性：
构造映射\( I_1 \in \mathcal{L}(V, V), \forall v \in V, I_1(v) = v \)，构造映射\( I_2 \in \mathcal{L}(W, W), \forall w \in W, I_2(w) = w \)，易得\( \forall v \in \mathcal{L}(V, W), TI = IT = T \)。
证明满足分配律：
\( \forall T, T_1, T_2 \in \mathcal{L}(U, V), \forall S, S_1, S_2 \in \mathcal{L}(V, W) \)：
\( \forall u \in U, ((S_1 + S_2)T)(u) = (S_1 + S_2)(Tu) = S_1(Tu) + S_2(Tu) = (S_1T)(u) + (S_2T)(u) \)，综上，有\( (S_1 + S_2)T = S_1T + S_2T \)。
\( \forall u \in U, S(T_1 + T_2)(u) = S((T_1 + T_2)(u)) = S(T_1u + T_2u) = S(T_1u) + S(T_2u) = (ST_1)(u) + (ST_2)(u) \)，综上，有\( S(T_1 + T_2) = ST_1 + ST_2 \)。
证毕。
练习3A.7
题目：
Show that every linear map from a one-dimensional vector space to itself is multiplication by some scalar. More precisely, prove that if \( \dim V = 1 \) and \( T \in \mathcal{L}(V) \), then there exists \( \lambda \in \mathbf{F} \) such that \( Tv = \lambda v \) for all \( v \in V \).
证明：
给定任意满足题述条件的线性映射\( T \)，因为\( \dim V = 1 \)，可得\( V \)的基中的向量数量为\( 1 \)，任取\( V \)的基\( w \)，则\( \forall v \in V \)，存在\( \alpha \in \mathbf{F} \)，使得\( v = \alpha w \)，因为\( T \in \mathcal{L}(V) \)，有\( Tw \in V \)，可得存在\( \lambda \in \mathbf{F} \)，使得\( Tw = \lambda w \)，进而可得\( Tv = T(\alpha w) = \alpha (Tw) = \alpha (\lambda w) = \lambda (\alpha w) = \lambda v \)。
证毕。
练习3A.8
题目：
Give an example of a function \( \varphi: \mathbf{R}^2 \to \mathbf{R} \) such that \( \varphi(av) = a \varphi(v) \) for all \( a \in \mathbf{R} \) and all \( v \in \mathbf{R}^2 \) but \( \varphi \) is not linear. (This exercise and the next exercise show that neither homogeneity nor additivity alone is enough to imply that a function is a linear map.)
解答：
构造\( \varphi: \mathbf{R}^2 \to \mathbf{R} \)， \( \forall (x, y) \in \mathbf{R}^2 \)，如果\( y \neq 0 \)，则令\( \varphi((x, y)) = \dfrac{x^2}{y} \)，如果\( y = 0 \)，则令\( \varphi((x, y)) = 0 \)，于是\( \forall a \in \mathbf{R}, (x, y) \in \mathbf{R}^2, \varphi(a(x, y)) = \varphi((ax, ay)) = \dfrac{a^2x^2}{ay} = a\dfrac{x^2}{y} = a \varphi((x, y)) \)，但是\( \varphi((1, 2) + (3, 4)) = \varphi((4, 6)) = \dfrac{16}{6}, \varphi((1, 2)) = \dfrac{1}{2}, \varphi((3, 4)) = \dfrac{9}{4} \)，可得\( \varphi((1, 2)) + \varphi((3, 4)) = \dfrac{11}{4} = \dfrac{33}{12} \neq \dfrac{32}{12} = \dfrac{16}{6} = \varphi((1, 2) + (3, 4)) \)，这意味着\( \varphi \)非线性。
练习3A.9
题目：
Give an example of a function \( \varphi: \mathbf{C} \to \mathbf{C} \) such that \( \varphi(w + z) = \varphi(w) + \varphi(z) \) for all \( w, z \in \mathbf{C} \) but \( \varphi \) is not linear. (Here C is thought of as a complex vector space. There also exists a function \( \varphi: \mathbf{R} \to \mathbf{R} \) such that \( \varphi \) satisfies the additivity condition above but \( \varphi \) is not linear. However, showing the existence of such a function involves considerably more advanced tools.)
解答：
构造\( \varphi: \mathbf{C} \to \mathbf{C} \)， \( \forall a + bi \in \mathbf{C} \)，令\( \varphi(a + bi) = a \)，则\( \forall w = (a + bi), z = (c + di) \in \mathbf{C} \)，有\( \varphi(w + z) = \varphi((a + c) + (b + d)i) = a + c = \varphi(w) + \varphi(z) \)，但是\( i \varphi(1) = i \neq \varphi(i \times 1) = \varphi(i) = 0 \)，这意味着\( \varphi \)非线性。
练习3A.10
题目：
Prove or give a counterexample: If \( q \in \mathcal{P}(\mathbf{R}) \) and \( T: \mathcal{P}({\mathbf{R}}) \to \mathcal{P}({\mathbf{R}}) \) is defined by \( Tp = q \circ p \), then \( T \) is a linear map. (The function \( T \) defined here differs from the function \( T \) defined in the last bullet point of 3.3 by the order of the functions in the compositions.)
Last bullet point of 3.3的内容：
composition
Fix a polynomial \( q \in \mathcal{P}({\mathbf{R}}) \). Define a linear map \( T \in \mathcal{L}(\mathcal{P}({\mathbf{R}})) \) by \( (Tp)(x) = p(q(x)) \).
解答：
不成立，令\( q(x) = x^2 \)，\( p(x) = x \)，则\( (T(2p))(x) = q(2p(x)) = 4x^2 \)，而\( (2T(p))(x) = 2q(p(x)) = 2x^2 \)，可得\( T(2p) \neq 2Tp \)，这说明\( T \)非线性映射。
练习3A.11
题目：
Suppose \( V \) is finite-dimensional and \( T \in \mathcal{L}(V) \). Prove that \( T \) is a scalar multiple of the identity if and only if \( ST = TS \) for every \( S \in \mathcal{L}(V) \).
证明：
必要性：
如果\( T \)为恒等函数的标量倍，则\( \exists \lambda \in F \)，使得\( \forall v \in V, T(v) = \lambda v \)，此时\( \forall S \in \mathcal{L}(V) \)，有\( (ST)(v) = S(T(v)) = S(\lambda v) = \lambda S(v) \)，且\( (TS)(v) = T(S(v)) = \lambda S(v) \)，可得\( ST = TS \)。
充分性：
注： 这部分直接用了xen的回答，Robert Israel回答中的解法更简洁，但是依赖于存在\( V \)上的非平凡线性函数映射（linear functional），但是书中到该练习所在页数为止，并没有定理支持该函数的存在性，所以这里用了xen的解法。
令\( n = \dim V \)，令\( e_1, \dots, e_n \)为\( V \)的基。
\( \forall 1 \leq i \leq n \)，构造\( S_i \in \mathcal{L}(V) \)， \( \forall a_1 e_1 + \dots + a_n e_n \in V \)，令\( S_i(a_1 e_1 + \dots + a_n e_n) = a_i e_i \)，易验证\( S_i \in \mathcal{L}(V) \)，则 \( \forall 1 \leq i \leq n, T e_i = T S_i e_i = S_i T e_i = S_i (b_{i, 1} e_1 + \dots + b_{i, n} e_n) = b_{i, 1} S_i e_1 + \dots + b_{i, n} S_i e_n = b_{i, i} e_n \)，我们接下来需要证明\( \forall 1 \leq i, j \leq n, i \neq j, b_{i, i} = b_{j, j} \)。
\( \forall 1 \leq i, j \leq n, i \neq j \)，构造\( S_{i, j} \in \mathcal{L}(V) \)， \( \forall a_1 e_1 + \dots + a_n e_n \in V \)，令\( S_{i, j}(a_1 e_1 + \dots + a_n e_n) = a_j e_i + a_i e_j \)，易验证\( S_{i, j} \in \mathcal{L}(V) \)，则 \( TS(e_i + e_j) = T(e_i + e_j) = Te_i + Te_j = b_{i, i} e_i + b_{j, j} e_j \)， \( ST(e_i + e_j) = S(b_{i, i} e_i + b_{j, j} e_j) = b_{j, j} e_j + b_{i, i} e_i \)，而\( TS(e_i + e_j) = ST(e_i + e_j) \)，可得\( b_{i, i} e_i + b_{j, j} e_j = b_{j, j} e_j + b_{i, i} e_i \)，于是有\( (b_{i, i} - b_{j, j}) e_i + (b_{j, j} - b_{i, i}) e_j = 0 \)，由于\( e_i, e_j \)线性无关，可得\( b_{i, i} - b_{j, j} = b_{j, j} - b_{i, i} = 0 \)，有\( b_{i, i} = b_{j, j} \)。
综上，我们有\( \forall v = a_1 e_1 + \dots + a_n e_n \in V, Tv = a_1 Te_1 + \dots + a_n Te_n = b_{1, 1} a_1 e_1 + \dots + b_{n, n} a_n e_n = b_{1, 1} a_1 e_1 + \dots + b_{1, 1} a_n e_n = b_{1, 1}(a_1 e_1 + \dots + a_n e_n) = b_{1, 1} v \)，这意味着\( T \)为恒等函数的标量倍。
证毕。
参考资料
- 练习3A.11，xen的回答，Robert Israel的回答